Problema 787

En un estudio de mercado, 500 participantes han probado tres cafés diferentes, presentados como producto A, producto B y producto C, y han escogido cuál de los tres les ha gustado más.
Sabemos que el producto B ha sido escogido por el doble de personas que el producto A y que el producto B lo han escogido 32 personas más que los productos A y C juntos.
Calcule cuántas personas han escogido cada producto.


Solución:

Sea x el número de personas que ha escogido el café A, sea y el número de personas que ha escogido el café B y z el número de personas que ha escogido el café C.
En total el estudio de mercado tiene 500 participantes:

x+y+z=500

El producto B ha sido escogido por el doble de personas que el producto A:

y=2x

El producto B lo han escogido 32 personas más que los productos A y C juntos:

y=x+z+32

Con estas tres ecuaciones formamos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&500\\2x&-&y&&&=&0\\x&-&y&+&z&=&-32\end{array}\right.

Utilizamos el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&500\\2x&-&y&&&=&0\\x&-&y&+&z&=&-32\end{array}\right.\rightarrow\Big[Ec_3-Ec_1\rightarrow Ec_3\Big]\rightarrow\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&500\\2x&-&y&&&=&0\\&&-2y&&&=&-532\end{array}\right.

De la tercera ecuación obtenemos y=\dfrac{-532}{-2}=266.
De la segunda ecuación:

2x-266=0\rightarrow x=\dfrac{266}2=133

Y de la primera ecuación:

133+266+z=500\rightarrow z=500-133-266=101

Es decir, 133 personas han escogido el café A, 266 personas han escogido el café B y 101 personas han escogido el café C.

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