Problema 788

Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Considere la matriz M=\begin{pmatrix}2&5\\2&-1\end{pmatrix}. Calcular los valores de a y b para que se verifique la igualdad M^2+aM+bI=\mathbf0, en la que I es la matriz identidad y \mathbf0 es la matriz nula.
b) Considere la matriz A=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}. Encuentre todas las matrices B que conmutan con la matriz A, es decir, que cumplen que A · B = B · A.


Solución:

a) Calculamos la matriz M^2+aM+bI:

M^2=\begin{pmatrix}2&5\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&5\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&5\\2&11\end{pmatrix}

aM=a\begin{pmatrix}2&5\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a&5a\\2a&-a\end{pmatrix}

bI=b\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b&0\\0&b\end{pmatrix}

M^2+aM+bI=\begin{pmatrix}14+2a+b&5+5a\\2+2a&11-a+b\end{pmatrix}

Igualamos a la matriz nula \mathbf0:

\begin{pmatrix}14+2a+b&5+5a\\2+2a&11-a+b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

y obtenemos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}14+2a+b=0\\5+5a=0\\2+2a=0\\11-a+b=0\end{array}\right.

De la segunda ecuación obtenemos a=-1.
La tercera ecuación es proporcional a la segunda.
De la cuarta ecuación obtenemos:

11-(-1)+b=0\rightarrow b=-12

Y la primera ecuación confirma la solución a=-1, b=-12.

14+2\cdot(-1)+(-12)=14-2-12=0


b) Para que dos matrices conmuten es necesario que ambas sean cuadradas del mismo orden, luego escribimos

B=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

Calculamos los productos:

AB=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c&d\\a-c&b-d\end{pmatrix}

BA=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b&a-b\\d&c-d\end{pmatrix}

Igualando ambas matrices obtenemos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}c=b\\d=a-b\\a-c=d\\b-d=c-d\end{array}\right.

La cuarta ecuación es equivalente a la primera.
Dado que c=b, la tercera ecuación es equivalente a la segunda. Luego, en realidad, el sistema formado por las cuatro ecuaciones es equivalente a:

\left\{\begin{array}{l}c=b\\d=a-b\end{array}\right.

Y la matriz B buscada tiene la forma:

B=\begin{pmatrix}a&b\\b&a-b\end{pmatrix}

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