Problema 789

La gráfica de la función f(x)=ax+b+\dfrac8x pasa por el punto (-2, -6) y la recta tangente en este punto es paralela al eje de las abscisas.

a) Calcular el valor de a.
b) Calcular el valor de b.


Solución:

Nos dicen que f pasa por el punto (-2,-6), luego, f(-2)=-6.
También nos dicen que en x=-2, la recta tangente es paralela al eje x cuya pendiente es 0, luego, f'(-2)=0.
Con estas dos ecuaciones formamos un sistema y lo resolvemos (recordar la tabla de derivadas):

f(-2)=a\cdot(-2)+b+\dfrac8{-2}=-2a+b-4=-6\rightarrow-2a+b=-2\\\\f'(x)=a-\dfrac8{x^2}\\f'(-2)=a-\dfrac8{(-2)^2}=a-2=0

\left\{\begin{array}{l}-2a+b=-2\\a-2=0\end{array}\right.

a) De la segunda ecuación obtenemos a=2.

b) De la primera ecuación:

-2\cdot2+b=-2\rightarrow-4+b=-2\rightarrow b=2

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