Problema 790

La función f(x)=\dfrac{40}{x^2-22x+125} muestra aproximadamente la venta diaria, en miles de unidades, de un perfume de moda en función de x, donde x es el día del mes de febrero.

a) ¿Cuántas unidades de perfume se vendieron, aproximadamente, el día 5 de febrero? ¿Cuál es el incremento de ventas entre el día 7 y el día 9 de febrero?
b) ¿Qué día del mes de febrero se vendieron más perfumes y cuántas unidades se vendieron?


Solución:

a) El denominador de f no se anula en ningún día de febrero, ya que x^2-22x+125, no se anula nunca, el discriminante de la solución de la ecuación de segundo grado es negativo:

\Delta=(-22)^2-4\cdot1\cdot125=-16

El día 5 de febrero se vendió:

f(5)=\dfrac{40}{5^2-22\cdot5+125}=\dfrac{40}{40}=1

Es decir, se vendieron 1000 unidades del perfume.
El incremento entre los días 7 y 9 es:

f(9)-f(7)=\dfrac{40}{9^2-22\cdot9+125}-\dfrac{40}{7^2-22\cdot7+125}=\dfrac{40}8-\dfrac{40}{20}=5-2=3

Es decir, el incremento fue de aproximadamente 3000 unidades.


b) Nos piden el máximo de la función f, para ello calculamos sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=\dfrac{-40(2x-22)}{(x^2-22x+125)^2}=0~;\\\\-40(2x-22)=0~;\\\\2x-22=0~;\\\\x=11

Para ver si este punto crítico corresponde a un máximo vamos a estudiar la monotonía de f:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(1,11)&(11,28)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Luego, para x=11, la función f presenta un máximo.
Ese día las unidades vendidas fueron:

f(11)=\dfrac{40}{11^2-22\cdot11+125}=\dfrac{40}4=10

Es decir, el máximo de ventas fue el día 11 de febrero, alcanzando unas 10000 unidades vendidas.

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