Problema 791

En una fábrica se dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas de montaña y de paseo, que se venderán a 200 € y 150 €, respectivamente. Para fabricar una bicicleta de montaña son necesarios 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para fabricar una de paseo, 2 kg de cada uno de los dos metales.

a) Determinar la función objetivo y las restricciones, y dibuje la región factible.
b) Calcular cuántas bicicletas de cada tipo se deben fabricar para obtener el máximo beneficio y diga cuál es este beneficio.


Solución:

a) Sea x el número de bicicletas de montaña a fabricar y sea y el número de bicicletas de paseo.

La función objetivo es la función beneficio:

f(x)=200x+150y

Las bicicletas de montaña necesitan 1 kg de acero y las de paseo, 2 kg, luego:

x+2y\leq80

Las bicicletas de montaña necesitan 3 kg de aluminio y las de paseo, 2 kg, luego:

3x+2y\leq120

Estas dos restricciones junto con las restricciones de positividad dan lugar al siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+2y\leq80\\3x+2y\leq120\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

A partir de estas inecuaciones, escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos en la gráfica:

\left\{\begin{array}{l}x+2y=80\\3x+2y=120\\x=0\\y=0\end{array}\right.p791

La zona sombreada es la región factible.


b) El máximo de la función objetivo se encuentra en alguno de los vértices de la región factible. Calculamos los vértices resolviendo el sistema de ecuaciones de las rectas que se encuentran en dicho vértice:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,0)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\x+2y=80\end{array}\right.&\rightarrow B=(0,40)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}3x+2y=120\\x+2y=80\end{array}\right.&\rightarrow C=(20,30)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}3x+2y=120\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow D=(40,0)\end{array}

Calculamos el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices:

a\rightarrow f(0,0)=200\cdot0+150\cdot0=0\\B\rightarrow f(0,40)=150\cdot40=6000\\C\rightarrow f(20,30)=8500\\D\rightarrow f(40,0)=8000

Luego, el máximo beneficio se alcanza produciendo 20 bicicletas de montaña y 30 bicicletas de paseo. El beneficio es 8500 €.

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