Problema 792

Una tienda abre al público desde las 10 horas hasta las 21 horas. Sabemos que los ingresos por ventas, en función de la hora del día, vienen dados por la función:

I(t)=-5(m-t)^2+n

con 10≤t≤21.

a) Encuentre el valor de m sabiendo que los ingresos máximos se producen a las 18 horas.
b) Encuentre el valor de n sabiendo que a las 21 horas hay unos ingresos de 500 €.


Solución:

a) Una función alcanza sus máximos en sus puntos críticos. En el enunciado dicen que el máximo se obtiene para t=18, luego:

I'(18)=0

Luego (recordar la tabla de derivadas):

I'(t)=-10(m-t)\cdot(-1)=10(m-t)~;\\\\I'(18)=10(m-18)=0\rightarrow m-18=0\rightarrow\boxed{m=18}

Además, con el test de la derivada segunda, podemos comprobar que la función alcanza un máximo para t=18:

I''(t)=-10,~\forall t\in[10,21]


b) Si a las 21 horas los ingresos son de 500 euros, entonces I(21)=500. Sabiendo que m=18:

I(21)=-5(18-21)^2+n=-45+n=500\rightarrow\boxed{n=545}

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