Problema 793

Considere la función f(x)=2x^3+ax. Calcule el valor de la constante a fin de que
esta función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = -1. Diga si se trata de un máximo o de un mínimo y diga también el valor que toma la función f en este punto.


Solución:

Si f tiene un extremo relativo en x=-1, entonces f'(-1)=0 (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=6x^2+a\\\\f'(-1)=6(-1)^2+a=6+a=0\rightarrow\boxed{a=-6}

Para ver si este punto crítico corresponde a un máximo o a un mínimo, utilizamos el test de la derivada segunda:

f''(x)=12x\\\\f''(-1)=12\cdot(-1)=-12<0

Luego, según el test de la derivada segunda, en x=-1 la función presenta un máximo.

En x=-1, el valor de la función es:

f(-1)=2\cdot(-1)^3-6\cdot(-1)=-2+6=4

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