Problema 794

La empresa de deporte de aventura Xtrem prepara para la última semana de junio dos paquetes: el paquete básico (PB) y el paquete súper (PS). El PB incluye una bajada de rafting, una bajada haciendo barranquismo y un salto de puente, y tiene un precio de 50 €. Por otra parte, el PS incluye tres bajadas de rafting, dos haciendo barranquismo y un salto de puente, y el precio es de 120 €.
Por limitaciones climáticas y de personal, sólo se pueden hacer 12 bajadas de rafting, 9 haciendo barranquismo y 8 saltos de puente.
Para hacer la promoción turística, se quiere saber qué combinación de paquetes proporciona más ingresos.

a) Encuentre las inecuaciones que deben cumplir todas las posibles combinaciones de paquetes. Dibuje la región del plano en que se encuentran estas posibles soluciones y encuentra la función que da los ingresos en función del número de paquetes de cada tipo.
b) Encuentre el número de paquetes de cada tipo que debe ofrecer la empresa para obtener los ingresos máximos y diga cuáles serían esos ingresos.


Solución:

a) Sea x el número de paquetes básicos PS e y el número de paquetes super PS.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&PB&PS\\\hline\text{Rafting}&1&3\\\hline\text{Barranquismo}&1&2\\\hline\text{Salto de puente}&1&1\\\hline\end{array}

Por las limitaciones, se pueden hacer hasta 12 bajadas de rafting:

x+3y\leq12

Se pueden hacer hasta 9 bajadas haciendo barranquismo:

x+2y\leq9

Y se pueden hacer hasta 8 saltos de puente:

x+y\leq8

Con estas tres restricciones y con las restricciones de positividad, construimos el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+3y\leq12\\x+2y\leq9\\x+y\leq8\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

A partir de estas inecuaciones sacamos las ecuaciones de las rectas y las representamos en una misma gráfica:

\left\{\begin{array}{l}x+3y=12\\x+2y=9\\x+y=8\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p794

La región sombreada es la región factible, que incluye todas las posibles soluciones que se ajustan a las restricciones.

Sabiendo que los PB valen 50€ y que los PS valen 120€, entonces, la función objetivo que da los ingresos en función del número de paquetes es:

f(x,y)=50x+120y


b) La combinación de paquetes que maximiza los ingresos es alguno de los vértices de la región factible. Calculamos esos vértices resolviendo los sistemas formados por las rectas que forman dichos vértices:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,0)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\x+3y=12\end{array}\right.&\rightarrow B=(0,4)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+2y=9\\x+3y=12\end{array}\right.&\rightarrow C=(3,3)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+2y=9\\x+y=8\end{array}\right.&\rightarrow D=(7,1)\\E\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0\\x+y=8\end{array}\right.&\rightarrow E=(8,0)\end{array}

Evaluamos cada uno de estos vértices en la función objetivo:

A\rightarrow f(0,0)=50\cdot0+120\cdot0=0\\B\rightarrow f(0,4)=120\cdot4=480\\C\rightarrow f(3,3)=510\\D\rightarrow f(7,1)=470\\E\rightarrow f(8,0)=400

La función objetivo es máxima en el vértice C, luego, los máximos ingresos se obtienen ofreciendo 3 PB y 3 PS siendo los ingresos de 510€.

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