Problema 795

Un nutricionista, después de hacer un estudio personalizado a un paciente, le propone una dieta. Según el modelo del nutricionista, el peso en kilogramos del paciente seguirá la función

f(x)=\dfrac{63x+510}{x+6}

donde x denota el número de meses que hace que sigue la dieta.

a) Justificar que la función f es estrictamente decreciente cuando x ≥ 0.
b) Determinar el peso inicial del paciente y cuánto pesará a los dos meses de seguir la dieta según el modelo. ¿Hacia qué valor tenderá su peso a largo plazo? Argumentad si este valor límite se alcanzará en algún momento.


Solución:

a) La derivada de una función informa sobre la monotonía de dicha función. Calculamos la derivada de f (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=\dfrac{63(x+6)-(63x+510)}{(x+6)^2}=\dfrac{63x+378-63x-510}{(x+6)^2}=\dfrac{-132}{(x+6)^2}

El denominador de f´ es siempre positivo para x≥0, luego, f’ es negativo en todo x≥0, y, por tanto, la función f es decreciente cuando x≥0.


b) El peso inicial del paciente es:

f(0)=\dfrac{63\cdot0+510}{0+6}=\dfrac{510}6=85\text{ kg}

Al cabo de dos meses su peso es:

f(2)=\dfrac{63\cdot2+510}{2+6}=\dfrac{636}8=79.5\text{ kg}

Según este modelo, cuando pasa mucho tiempo el peso tiende a:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{63x+510}{x+6}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{63x}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{63}1=63

Es decir, a largo plazo el peso del paciente tiende a 63 kg, peso que se supone que se alcanzaría tras un lapso infinito de tiempo, lapso que no se puede dar en la práctica, por lo que, en la práctica, dicho valor nunca se podría alcanzar con ese modelo.

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