Problema 796

Para la Fiesta Mayor, la pastelería del pueblo elabora unas cajas de bombones especiales. La caja pequeña contiene 10 bombones, la media tiene 15 bombones y la mayor tiene 25. Cada caja va decorada con un lazo conmemorativo. En total han utilizado 210 lazos y 2.650 bombones.
Teniendo en cuenta que han elaborado el doble de cajas pequeñas que de medianas y grandes juntas, ¿cuántas cajas de cada tipo han elaborado?


Solución:

Sea x el número de cajas pequeñas, y el número de cajas medianas y z el número de cajas grandes elaboradas.
En total se han elaborado 210 lazos, luego, se han elaborado 210 cajas de bombones:

x+y+z=210

En total se han utilizado 2650 bombones:

10x+15y+25z=2650

Hay el doble de cajas pequeñas que de medianas y grandes juntas:

x=2(y+z)

Con estas tres ecuaciones formamos el sistema que resolvemos utilizando el método de Gauss-Jordan:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\10x+15y+25z&=2650\\x-2y-2z&=0\end{array}\right.\rightarrow\left[\begin{array}{c}E_2-10E_1\rightarrow E_2\\E_3-E_1\rightarrow E_3\end{array}\right]\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\5y+15z&=550\\-3y-3z&=-210\end{array}\right.\rightarrow\\\\\rightarrow\left[\begin{array}{c}\frac{E_2}5\rightarrow E_2\\\frac{E_3}{-3}\rightarrow E_3\end{array}\right]\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\y+3z&=110\\y+z&=70\end{array}\right.\rightarrow\Big[E_2-E_3\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\\\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\y+3z&=110\\2z&=40\end{array}\right.

En el sistema resultante, de la tercera ecuación obtenemos z=20.
De la segunda ecuación:

y+3z=110\rightarrow y=110-3\cdot20=50

De la primera ecuación:

x+y+z=210\rightarrow x=210-50-20=140

Luego, se han elaborado 140 cajas pequeñas, 50 cajas medianas y 20 cajas grandes.

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