Para la Fiesta Mayor, la pastelería del pueblo elabora unas cajas de bombones especiales. La caja pequeña contiene 10 bombones, la media tiene 15 bombones y la mayor tiene 25. Cada caja va decorada con un lazo conmemorativo. En total han utilizado 210 lazos y 2.650 bombones.
Teniendo en cuenta que han elaborado el doble de cajas pequeñas que de medianas y grandes juntas, ¿cuántas cajas de cada tipo han elaborado?
Solución:
Sea x el número de cajas pequeñas, y el número de cajas medianas y z el número de cajas grandes elaboradas.
En total se han elaborado 210 lazos, luego, se han elaborado 210 cajas de bombones:
En total se han utilizado 2650 bombones:
Hay el doble de cajas pequeñas que de medianas y grandes juntas:
Con estas tres ecuaciones formamos el sistema que resolvemos utilizando el método de Gauss-Jordan:
![\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\10x+15y+25z&=2650\\x-2y-2z&=0\end{array}\right.\rightarrow\left[\begin{array}{c}E_2-10E_1\rightarrow E_2\\E_3-E_1\rightarrow E_3\end{array}\right]\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\5y+15z&=550\\-3y-3z&=-210\end{array}\right.\rightarrow\\\\\rightarrow\left[\begin{array}{c}\frac{E_2}5\rightarrow E_2\\\frac{E_3}{-3}\rightarrow E_3\end{array}\right]\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\y+3z&=110\\y+z&=70\end{array}\right.\rightarrow\Big[E_2-E_3\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\\\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\y+3z&=110\\2z&=40\end{array}\right.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brl%7Dx%2By%2Bz%26%3D210%5C%5C10x%2B15y%2B25z%26%3D2650%5C%5Cx-2y-2z%26%3D0%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Crightarrow%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7DE_2-10E_1%5Crightarrow+E_2%5C%5CE_3-E_1%5Crightarrow+E_3%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Crightarrow%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brl%7Dx%2By%2Bz%26%3D210%5C%5C5y%2B15z%26%3D550%5C%5C-3y-3z%26%3D-210%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Cfrac%7BE_2%7D5%5Crightarrow+E_2%5C%5C%5Cfrac%7BE_3%7D%7B-3%7D%5Crightarrow+E_3%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Crightarrow%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brl%7Dx%2By%2Bz%26%3D210%5C%5Cy%2B3z%26%3D110%5C%5Cy%2Bz%26%3D70%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Crightarrow%5CBig%5BE_2-E_3%5Crightarrow+E_3%5CBig%5D%5Crightarrow%5C%5C%5Crightarrow%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brl%7Dx%2By%2Bz%26%3D210%5C%5Cy%2B3z%26%3D110%5C%5C2z%26%3D40%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\10x+15y+25z&=2650\\x-2y-2z&=0\end{array}\right.\rightarrow\left[\begin{array}{c}E_2-10E_1\rightarrow E_2\\E_3-E_1\rightarrow E_3\end{array}\right]\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\5y+15z&=550\\-3y-3z&=-210\end{array}\right.\rightarrow\\\\\rightarrow\left[\begin{array}{c}\frac{E_2}5\rightarrow E_2\\\frac{E_3}{-3}\rightarrow E_3\end{array}\right]\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\y+3z&=110\\y+z&=70\end{array}\right.\rightarrow\Big[E_2-E_3\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\\\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=210\\y+3z&=110\\2z&=40\end{array}\right.")
En el sistema resultante, de la tercera ecuación obtenemos z=20.
De la segunda ecuación:
De la primera ecuación:
Luego, se han elaborado 140 cajas pequeñas, 50 cajas medianas y 20 cajas grandes.
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