Problema 797

Un comerciante puede comprar artículos a 350 € la unidad. Si los vende a 750 € la unidad, vende 30. Sabemos que la relación entre estas dos variables (el precio de venta y el número de unidades vendidas) es lineal y que, por cada descuento de 20 € en el precio de venta, incrementa las ventas en 3 unidades. Considerando que el comerciante sólo comprará el número de artículos que sabe que venderá:

a) Escribe la función de beneficios a partir del número de veces x que se aplica el descuento.
b) Determinar el precio de venta que hace máximos los beneficios del comerciante y justifique que es un máximo. Determine cuántas unidades venderá.


Solución:

a) Sin descuentos, el comerciante vende un artículo por 750€ que compró por 350€, obteniendo un beneficio unitario b_u de 400€. Aplicando x descuentos de 20€, el beneficio unitario es:

b_u=400-20x

Sin descuentos, el comerciante tiene unas ventas v de 30 unidades. Cada descuento de 20€ hace aumentar las ventas 3 unidades, luego, aplicando x descuentos, las unidades que venderá son:

v=30+3x

La función beneficios es el producto del beneficio unitario multiplicado por el número de unidades vendidas: B=b_u\cdot v. Los beneficios en función del número de descuentos aplicados es:

B(x)=(400-20x)(30+3x)=12000+1200x-600x-60x^2\\\\B(x)=-60x^2+600x+12000


b) Calculamos los puntos críticos de la función beneficio B (recordar la tabla de derivadas):

B'(x)=-120x+600=0~;\\\\120x=600\rightarrow x=5

Utilizando el test de la derivada segunda, veamos si B alcanza un máximo en x=5:

B''(x)=-120~;\\B''(5)=-120<0

Luego, para x=5, B alcanza un máximo, y el valor del beneficio es:

B(5)=-60\cdot5^2+600\cdot5+12000=13500

Es decir, haciendo 5 descuentos de 20 euros, lo que equivale a vender cada unidad a 650€, se obtendría un beneficio total de 13500€.

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