Problema 799

Queremos enviar una fecha codificada. Para hacerlo, consideramos el vector de tres componentes X=(d~m~a), en el que d expresa el día, m el mes y a el año. A continuación, hacemos la operación XA+B, en la que A y B son las matrices

A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\1&0&0\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}5&-5&5\end{pmatrix}

El resultado de esta operación es el vector codificado que envíen.

a) Si la fecha que queremos enviar es el 1 de enero de 2019, es decir, si X=\begin{pmatrix}1&1&2019\end{pmatrix}, qué es el vector codificado que enviaremos?
b) Si el vector codificado que nos ha llegado es \begin{pmatrix}2036&1&-13\end{pmatrix}, cuál es la fecha sin codificar?


Solución:

a) Si la fecha a enviar es X=\begin{pmatrix}1&1&2019\end{pmatrix}, entonces el vector codificado es:

XA+B=\begin{pmatrix}1&1&2019\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\1&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&-5&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2025&-4&3\end{pmatrix}

El vector codificado es \begin{pmatrix}2025&-4&3\end{pmatrix}.


b) Nos piden la fecha sin codificar:

XA+B=\begin{pmatrix}d&m&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\1&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&-5&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d+a+5&m-5&-d-m+5\end{pmatrix}

Este sería el resultado de la fecha codificado. Igualamos este resultado al vector \begin{pmatrix}2036&1&-13\end{pmatrix} y resolvemos:

\begin{pmatrix}d+a+5&m-5&-d-m+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2036&1&-13\end{pmatrix}

que es equivalente al sistema:

\left\{\begin{array}{l}d+a+5=2036\\m-5=1\\-d-m+5=-13\end{array}\right.

De la segunda ecuación obtenemos: m=6.
De la tercera ecuación:

-d-m=-18\rightarrow d=18-m\rightarrow d=12

De la primera ecuación:

d+a+5=2036\rightarrow a=2031-d=2019

La fecha sin codificar es \begin{pmatrix}12&6&2019\end{pmatrix}.

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