Problema 800

Para la campaña de este verano, una tienda de deportes que vende patinetes eléctricos espera vender 40 patinetes a un precio de 1.000 € por patinete. Según un estudio de mercado, la relación entre el número de veces que se rebaja el precio del patinete en 50 € y el número de patinetes vendidos es lineal, y, por cada 50 € de rebaja en el precio de venta de cada patinete, habrá un incremento de las ventas de 10 patinetes más.

a) Escribe la función de ingresos de la tienda en función del número de veces que rebaje en 50 € el precio inicial de 1.000 € del patinete.
b) Hallar cuál debe ser el precio del patinete para obtener los ingresos máximos. Encuentra también el número de patinetes que se venderán y los ingresos que se obtendrán con este precio.


Solución:

a) El precio sin descuentos p de los patinetes es de 1000€. A ese precio se le descuentan 50€ por cada descuento aplicado x. El precio de cada patinete en función del número de descuentos es:

p(x)=1000-50x

Sin descuentos, la tienda tiene una venta v de 40 patinetes, y por cada descuento de 50€ x vende 10 patinetes más. El número de unidades vendidas en función de los descuentos aplicados es:

v(x)=40+10x

Los ingresos I de la tienda son el producto de las unidades vendidas multiplicado por el precio de cada unidad: I=v\cdot p. Los ingresos en función del número de descuentos aplicados es:

I(x)=(40+10x)(1000-50x)=40000-2000x+10000x-500x^2\\\\I(x)=-500x^2+8000x+40000


b) Calculamos los puntos críticos de I:

I'(x)=-1000x+8000=0~;\\\\x=\dfrac{8000}{1000}=8

Utilizamos el test de la derivada segunda para comprobar que este punto crítico corresponde a un máximo:

I''(x)=-1000~;\\\\I''(8)=-1000<0

Luego, con 8 descuentos aplicados se obtienen los mayores ingresos siendo estos de:

I(8)=-500\cdot8^2+8000\cdot8+40000=72000

Con 8 descuentos el precio de cada patinete es:

p(8)=1000-50\cdot8=600

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