Problema 801

Se prevé un cambio importante en la población de una determinada zona por cuestiones medioambientales. El número de habitantes de la zona, en millones, vendrá dado por la  función, P(t)=\dfrac{t^2+28}{(t+2)^2}, en la que t mide el tiempo en años desde el momento actual (t = 0).

a) Diga cuál es el número de habitantes de la zona actualmente y cuál será este número a muy largo plazo.
b) ¿En qué momento se llegará al número mínimo de habitantes? ¿Cuántos habitantes tendrá en ese momento? ¿Cuál es el número máximo de habitantes que se alcanza en esta zona?


Solución:

a) Actualmente, para t=0, la población es de

P(0)=\dfrac{0^2+28}{(0+2)^2}=\dfrac{28}4=7

es decir, 7 millones de habitantes.

A muy largo plazo, la población será de:

\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{t^2+28}{(t+2)^2}=\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{t^2+28}{t^2+4t+4}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{t^2}{t^2}=\lim_{t\rightarrow+\infty}1=1

A la larga, la población tenderá a 1 millón de habitantes.


b) Dado que t≥0, estudiamos la monotonía de P en su dominio. Calculamos los puntos críticos de P (recortar la tabla de derivadas):

P'(t)=\dfrac{2t(t+2)^2-(t^2+28)\cdot2(t+2)}{(t+2)^4}=\dfrac{4t^2-48t-112}{(t+2)^4}=0~;\\\\4t^2-48t-112=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son t=14 y t=-2. Con estos puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio, construimos la siguiente tabla de monotonía.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline t&(0,14)&(14,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }P'(t)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }P(t)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

En t=14 años, se obtiene un mínimo en la población. En ese momento, la población es:

P(14)=\dfrac{14^2+28}{(14+2)^2}=\dfrac{224}{256}=0.875

es decir, 875.000 habitantes.

Para t>14 la función crece hasta un valor máximo de 1 millón de habitantes, y según lo estudiado en la monotonía, el valor máximo se encuentra en la actualidad para t=0, donde la población asciende a 7 millones de habitantes.

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