Problema 802

En tres sorteos consecutivos de la Lotto 6/49 ha habido 51 personas que han acertado los 6 números de la combinación ganadora en alguno de los tres sorteos. El número de personas que acertaron la combinación ganadora en el tercer sorteo es la mitad del total de personas que acertaron en los dos primeros sorteos juntos. También sabemos que el número de personas que acertaron la combinación ganadora en el primer sorteo supera en 11 el total de personas que acertar en el segundo y en el tercer sorteos juntos. Con estos datos, calcular cuántas personas acertaron la combinación ganadora de la Lotto 6/49 en cada uno de los tres sorteos.


Solución:

Sea x, yz el número de personas que acertaron en el primer, segundo y tercer sorteo respectivamente.

Ha habido 51 personas que han acertado los 6 números de la combinación ganadora en alguno de los tres sorteos:

x+y+z=51

El número de personas que acertaron la combinación ganadora en el tercer sorteo es la mitad del total de personas que acertaron en los dos primeros sorteos juntos:

z=\dfrac12\cdot(x+y)

También sabemos que el número de personas que acertaron la combinación ganadora en el primer sorteo supera en 11 el total de personas que acertar en el segundo y en el tercer sorteos juntos:

x=11+y+z

Construimos el sistema formado por las tres ecuaciones anteriores:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=51\\x+y-2z&=0\\x-y-z&=11\end{array}\right.

Resolvemos este sistema utilizando el método de Gauss-Jordan:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=51\\x+y-2z&=0\\x-y-z&=11\end{array}\right.\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_2-F_1\rightarrow F_2\\F_3-F_1\rightarrow F_3\end{array}\right]\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=51\\-3z&=-51\\-2y-2z&=-40\end{array}\right.

De la ecuación segunda:

-3z=-51\rightarrow z=17

De la ecuación tercera:

-2y-2\cdot17=-40\rightarrow y=3

Y de la primera ecuación:

x+3+17=51\rightarrow x=31

Es decir, 31 personas acertaron la Lotto 6/49 en el primer sorteo, 3 personas en el segundo y 17 personas en el tercer sorteo.

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