Problema 803

Considérese una función f que tiene como primera derivada f'(x)=2x^2+bx+4, en el que b es un parámetro real.

a) Determinar el valor de b para que f tenga un extremo relativo en x = -1 y razone si se trata de un máximo o de un mínimo.
b) Sabiendo que la gráfica de la función f pasa por el punto (0, 3), encuentra la ecuación de la recta tangente a f en este punto.


Solución:

a) Si f tiene un extremo relativo en x=-1, entonces:

f'(-1)=0~;\\\\f'(-1)=2\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+4=2-b+4=6-b=0\rightarrow\boxed{b=6}

Para ver si este extremo es un máximo o es un mínimo, utilizamos el test de la derivada segunda:

f''(x)=4x+b~;\\\\f''(-1)=4\cdot(-1)+6=2>0

Luego, en x=-1, f presenta un mínimo.


b) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

Nos dicen que f pasa por el punto (0,3) luego, x_0=0 y f(0)=3. También sabemos que

f'(0)=4

Luego, la ecuación de la recta tangente a f que pasa por el punto (0,3) es:

y=4(x-0)+3~;\\\\\boxed{y=4x+3}

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