Problema 804

Un horno artesano hace dos tipos de panecillos, los integrales y los de cereales. En la elaboración, además de la harina correspondiente, se utiliza levadura de masa madre y agua. La cantidad de masa madre y de agua que se utiliza en la elaboración de cada panecillo depende de si se trata de un panecillo integral o de cereales. Queremos saber cuántos panecillos de cada tipo se pueden hacer. Tras comprobar la cantidad de masa madre y de agua de que se dispone, y teniendo en cuenta que la cantidad de panecillos de cereales no puede superar la de panecillos integrales, se obtiene la región siguiente con todas las posibilidades.

p804

En el gráfico, el eje de las x representa el número de panecillos integrales, y el de las y, el número de panecillos de cereales.

a) Escribir las inecuaciones que dan lugar a esta región factible.
b) Si los panecillos integrales se venden a 8 € cada unidad y los de cereales a 10 €, cuantos panecillos de cada tipo hay que vender para obtener los máximos ingresos? ¿Cuáles son estos máximos ingresos?


Solución:

a) Numeramos las rectas de la gráfica del 1 al 5:

p804a

Recordamos que la ecuación de una recta es y=mx+n, donde para una recta que pasa por los puntos a=(x_0,y_0) y b=(x_1,y_1), se tiene, m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} y n=y_0-mx_0.

Calculamos la recta 1. Observamos que dicha recta pasa por los puntos (0,12) y (2,10).

m=\dfrac{10-12}{2-0}=\dfrac{-2}2=-1\\\\n=12-(-1)\cdot0=12

Luego, la recta 1 es y=-x+12.
De la misma manera se obtiene la recta 2: y=-2x+20.
La recta 3 es: y=x.
Por último, están los ejes de coordenadas 4 (x=0) y 5 (y=0).

El punto (6,2) pertenece a la región factible. El sistema de inecuaciones obtenido a partir de las anteriores rectas y que verifican el punto (6,2) y, por tanto, todos los puntos de la región factible es:

\left\{\begin{array}{l}y\leq-x+12\\y\leq-2x+20\\y\leq x\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.


b) Dado que x son los panecillos integrales e y son los panecillos de cereales producidos, si los panecillos integrales se venden a 8 € cada unidad y los de cereales a 10 €, entonces los ingresos son:

f(x,y)=8x+10y

El beneficio máximo se obtendrá en alguno de los vértices de la región factible. Calculamos los vértices de la región factible:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=x\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,0)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=x\\y=-x+12\end{array}\right.&\rightarrow B=(6,6)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-2x+20\\y=-x+12\end{array}\right.&\rightarrow C=(8,4)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-2x+20\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow D=(10,0)\end{array}

Evaluamos los ingresos en cada vértice:

A\rightarrow f(0,0)=8\cdot0+10\cdot0=0\\\\B\rightarrow f(6,6)=108\\\\C\rightarrow f(8,4)=104\\\\D\rightarrow f(10,0)=80

El ingreso máximo se obtienen en el vértice B, es decir, produciendo 6 panecillos integrales y 6 panecillos de cereales. El ingreso sería de 108 €.

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