Problema 805

Considere las matrices M de la forma M=\begin{pmatrix}2&a\\-a&0\end{pmatrix}, donde a es un número real.

a) Determinar a de manera que M^2=\begin{pmatrix}3&2a\\-2a&-1\end{pmatrix}.
b) Determine a de manera que M^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}, donde M⁻¹ es la inversa de M. Es decir, M\cdot M^{-1}=I, en la que I es la matriz identidad de orden 2.


Solución:

a) Calculamos M²:

M^2=\begin{pmatrix}2&a\\-a&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&a\\-a&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-a^2&2a\\-2a&-a^2\end{pmatrix}

Igualamos:

\begin{pmatrix}4-a^2&2a\\-2a&-a^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2a\\-2a&-1\end{pmatrix}

de donde obtenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{l}4-a^2=3\\2a=2a\\-2a=-2a\\-a^2=-1\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}a^2=1\\0=0\\0=0\\a^2=1\end{array}\right.

Sistema cuya solución es a=±1.


b) Sabemos que M\cdot M^{-1}=I, luego:

M\cdot M^{-1}=\begin{pmatrix}2&a\\-a&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a&2+2a\\0&-a\end{pmatrix}

Igualamos a la matriz identidad:

\begin{pmatrix}-a&2+2a\\0&-a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

de donde se obtiene el sistema:

\left\{\begin{array}{l}-a=1\\2+2a=0\\0=0\\-a=1\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-1\\a=-1\\0=0\\a=-1\end{array}\right.

Sistema cuya solución es a=-1.

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