Considere la función , en la que a es un parámetro real.

a) Halle para qué valores del parámetro a la recta tangente a la función f en x = 1 es paralela a la recta .
b) Para el valor del parámetro a = 1, encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos donde se alcanzan los máximos y mínimos relativos de la función f.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en un un punto de abscisa es:

En nuestro caso .
La pendiente de la recta tangente es .
La pendiente de la recta es -3.
Como la recta tangente ha de ser paralela a la recta anterior, entonces se cumple: .
Recordando la tabla de derivadas:

Igualamos a -3 y resolvemos:

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son .

b) Para a=1 tenemos . Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos, :

Los puntos críticos tienen abscisas x=0 y x=2.
Teniendo en cuenta que el dominio de f  es , construimos la siguiente tabla de monotonía:

• f crece en
• f decrece en

A la vista de la tabla de monotonía, en x=0 se localiza un máximo cuyo valor es , y en x=2 se localiza un mínimo cuyo valor es .

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