Problema 806

Considere la función f(x)=\dfrac{x^2}{x-a}, en la que a es un parámetro real.

a) Halle para qué valores del parámetro a la recta tangente a la función f en x = 1 es paralela a la recta y+3x+5=0.
b) Para el valor del parámetro a = 1, encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos donde se alcanzan los máximos y mínimos relativos de la función f.


Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en un un punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

En nuestro caso x_0=1.
La pendiente de la recta tangente es f'(x_0).
La pendiente de la recta y+3x+5=0 es -3.
Como la recta tangente ha de ser paralela a la recta anterior, entonces se cumple: f'(1)=-3.
Recordando la tabla de derivadas:

f'(x)=\dfrac{2x(x-a)-x^2}{(x-a)^2}=\dfrac{x^2-2ax}{(x-a)^2}~;\\\\f'(1)=\dfrac{1-2a}{(1-a)^2}

Igualamos a -3 y resolvemos:

\dfrac{1-2a}{(1-a)^2}=-3~;\\\\1-2a=-3(1-a)^2~;\\\\1-2a=-3(1+a^2-2a)~;\\\\1-2a=-3-3a^2+6a~;\\\\3a^2-8a+4=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son a=2,~a=\frac23.


b) Para a=1 tenemos f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}. Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos, f'(x)=0:

f'(x)=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}=0~;\\\\x^2-2x=0~;\\\\x(x-2)=0

Los puntos críticos tienen abscisas x=0 y x=2.
Teniendo en cuenta que el dominio de f  es \mathbb R\setminus\{1\}, construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,1)&(1,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (-\infty,0)\cup(2,+\infty)
  • f decrece en (0,1)\cup(1,2)

A la vista de la tabla de monotonía, en x=0 se localiza un máximo cuyo valor es f(0)=\dfrac{0^2}{0-1}=0, y en x=2 se localiza un mínimo cuyo valor es f(2)=\dfrac{2^2}{2-1}=4.

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