Considere la función , en la que a es un parámetro real.
a) Halle para qué valores del parámetro a la recta tangente a la función f en x = 1 es paralela a la recta .
b) Para el valor del parámetro a = 1, encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos donde se alcanzan los máximos y mínimos relativos de la función f.
Solución:
a) La ecuación de la recta tangente a una función f en un un punto de abscisa es:
En nuestro caso .
La pendiente de la recta tangente es .
La pendiente de la recta es -3.
Como la recta tangente ha de ser paralela a la recta anterior, entonces se cumple: .
Recordando la tabla de derivadas:
Igualamos a -3 y resolvemos:
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son .
b) Para a=1 tenemos . Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos,
:
Los puntos críticos tienen abscisas x=0 y x=2.
Teniendo en cuenta que el dominio de f es , construimos la siguiente tabla de monotonía:
- f crece en
- f decrece en
A la vista de la tabla de monotonía, en x=0 se localiza un máximo cuyo valor es , y en x=2 se localiza un mínimo cuyo valor es
.
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