Problema 807

Pol quedó ayer con unos amigos en un bar y tomaron 4 refrescos, 3 bocadillos
y 5 bolas de helado. Todo ello les costó 19,50 €. Días atrás, había ido al mismo bar
con su primo Martí, y por 2 refrescos, 1 bocadillo y 2 bolas de helado habían pagado 8,10 €. En este bar todos los refrescos valen lo mismo, todos los bocadillos tienen el mismo precio y las bolas de helado se venden también a precio único.

a) Hoy Pol ha vuelto con otros amigos y han tomado 6 refrescos, 5 bocadillos y 8 bolas de helado. Explique razonadamente cuánto han pagado en total.
b) Si 1 refresco, 1 bocadillo y 1 bola de helado cuestan 5,10 €, ¿cuánto vale el refresco, el bocadillo y la bola de helado separadamente?


Solución:

a) Sea x el precio unitario de los refrescos, y el precio unitario de los bocadillos y z el precio unitario de las bolas de helado.
A partir del enunciado obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con tres variables:

\left\{\begin{array}{l}4x+3y+5z=19.5\\2x+y+2z=8.1\end{array}\right.

Si aplicamos Gauss-Jordan al sistema obtenemos un sistema equivalente:

\left\{\begin{array}{l}4x+3y+5z=19.5\\2x+y+2z=8.1\end{array}\right.\rightarrow\Big[2E_2-E_1\rightarrow E_1\Big]\rightarrow\left\{\begin{array}{r}4x+3y+5z=19.5\\-y-z=-3.3\end{array}\right.

El rango de la matriz de coeficientes es 2, luego, el sistema es compatible indeterminado (ver el teorema de Rouché-Fröbenius). No es posible obtener el precio de cada uno de los alimentos. Sin embargo, si se hace una compra que sea combinación lineal de las dos del enunciado, sí es posible conocer su precio total.

Si la primera compra fue (4,3,5) y la segunda (2,1,2), entonces, si la compra (6,5,8) es combinación lineal de las dos primeras, existe α y β reales tales que:

(6,5,8)=\alpha(4,3,5)+\beta(2,1,2)

Calculamos los dos parámetros α y β:

\left\{\begin{array}{l}6=4\alpha+2\beta\\5=3\alpha+\beta\\8=5\alpha+2\beta\end{array}\right.

Si a la tercera ecuación le restamos la primera obtenemos:

2=\alpha

Sustituyendo en la primera:

6=4\cdot2+2\beta\rightarrow\beta=-1

Se comprueba que α=2 y β=-1, verifica las tres ecuaciones lo cual significa que la compra propuesta es combinación lineal de las dos del enunciado, y que el precio de dicha compra es 2 veces el precio de la primera compra menos el precio de la segunda:

2\cdot19.5-8.1=30.9


b) A las dos ecuaciones del enunciado le añadimos la ecuación x+y+z=5.1. El sistema lo resolvemos utilizando el método de Gauss-Jordan:

\left\{\begin{array}{r}4x+3y+5z=19.5\\2x+y+2z=8.1\\x+y+z=5.1\end{array}\right.\rightarrow\left[\begin{array}{c}2E_2-E_1\rightarrow E_2\\4E_3-E_1\rightarrow E_3\end{array}\right]\rightarrow\left\{\begin{array}{r}4x+3y+5z=19.5\\-y-z=-3.3\\y-z=0.9\end{array}\right.\rightarrow\\\\\rightarrow\Big[ E_3+E_2\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\left\{\begin{array}{r}4x+3y+5z=19.5\\-y-z=-3.3\\-2z=-2.4\end{array}\right.

De la tercera ecuación obtenemos z=1.2. Sustituyendo en la segunda:

-y-1.2=-3.3\rightarrow y=2.1

Y de la primera ecuación:

4x+3\cdot2.1+5\cdot1.2=19.5\rightarrow4x=7.2\rightarrow x=1.8

Cada refresco vale 1.8€, cada bocadillo 2.1€, y cada bola de helado cuesta 1.2€.

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