Problema 808

Una empresa de materiales para coches fabrica dos modelos de una pieza determinada, que llamaremos A y B. Cada modelo se fabrica en una hora, mediante un proceso que consta de dos fases. En la primera fase del proceso se destinan 5 trabajadores, y en la segunda, 12. Para fabricar cada modelo, en la primera fase se necesita 1 trabajador para cada pieza. En cambio, en la segunda fase se necesitan 2 trabajadores para el modelo A y 3 trabajadores para el modelo B. El beneficio que se obtiene es de 40 € por el modelo A y 50 € para el modelo B.

a) Determinar la función objetivo y las restricciones, y dibuje la región factible.
b) ¿Cuántas piezas de cada modelo por hora se deberán fabricar para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo?


Solución:

a) Sea x el número de piezas del modelo A fabricados  e y el número de piezas del modelo B fabricados. En la siguiente tabla se recoge el número de trabajadores que se necesita por modelo y fase:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&A&B\\\hline1^a\text{ fase}&1&1\\\hline2^a\text{ fase}&2&3\\\hline\end{array}

Para la primera fase se destinan un máximo de 5 trabajadores:

x+y\leq5

Para la segunda fase se destinan un máximo de 12 trabajadores:

2x+3y\leq5

Junto con las restricciones de positividad x\geq0,~y\geq0, obtenemos el siguiente sistema de inecuaciones con todas las restricciones:

\left\{\begin{array}{l}x+y\leq5\\2x+3y\leq12\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

De estas inecuaciones obtenemos las ecuaciones de las rectas que representamos en una misma gráfica:

\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\2x+3y=12\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p808

La región factible es la región sombreada.

Por último, dado que el beneficio es de 40 euros por cada pieza del modelo A y de 50 euros por cada una del modelo B, la función objetivo es:

f(x,y)=40x+50y


b) El máximo beneficio se obtendrá en alguno de los vértices que forma la región factible. Calculamos los vértices resolviendo el sistema formado por cada par de rectas que forman dicho vértice:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,0)\\\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\2x+3y=12\end{array}\right.&\rightarrow B=(0,4)\\\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\2x+3y=12\end{array}\right.&\rightarrow C=(3,2)\\\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow D=(5,0)\end{array}

Calculamos el valor que toma la función objetivo, f(x,y)=40x+50y, en cada uno de los vértices:

A\rightarrow f(0,0)=40\cdot0+50\cdot0=0\\B\rightarrow f(0,4)=50\cdot4=200\\C\rightarrow f(3,2)=120+100=220\\D\rightarrow f(5,0)=200

Luego, para maximizar beneficios, se deben fabricar 3 piezas del modelo A y 2 piezas del modelo B, dando un beneficio de 200€.

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