Problema 809

Una compañía de móviles presentó hace un año un teléfono inteligente al precio de 750 €. Recientemente, un estudio de mercado ha llegado a la conclusión de que, con este precio, compran el teléfono 2.000 clientes al mes, y que la relación entre estas dos variables es lineal, de manera que por cada 10 € que se incrementa el precio del móvil, lo compran 100 clientes menos, y al revés: por cada 10 € de descuento sobre el precio inicial de 750 €, lo compran 100 clientes más.

a) Deducir que la función que determina los ingresos mensuales de la compañía según el precio del móvil es I(p)=-10p^2+9500p.
b) Hallar cuál debe ser el precio del móvil para obtener ingresos, el precio del móvil que da los ingresos mensuales más elevados y el valor de estos ingresos máximos.


Solución:

a) Hemos de calcular la función que da los ingresos I en función del precio p del teléfono.
El ingreso es el precio unitario de cada teléfono p multiplicado por el número de ventas que se realicen v.

I(p,v)=p\cdot v\qquad(1)

El precio unitario depende del número de aumentos x de 10€ que se hagan al precio original de 750€. A más aumentos de 10€ se haga al precio original, más caro será el precio p del teléfono:

p=750+10x

Despejamos x:

x=\dfrac{p-750}{10}\qquad(2)

Por otra parte, las ventas v dependen del número de aumentos x que se haga al precio. A partir de 2000 ventas, se pierden 100 ventas por cada aumento en el precio:

v=2000-100x\qquad(3)

Sustituimos (2) en (3):

v=2000-100\cdot\dfrac{p-750}{10}~;\\\\v=2000-10(p-750)~;\\\\v=2000-10p+7500~;\\\\v=9500-10p\qquad(4)

Y sustituyendo (4) en (1):

I=p\cdot(9500-10p)~;\\\\I(p)=-10p^2+9500p


b) Nos piden encontrar el precio unitario del teléfono que maximiza los ingresos. Calculamos los puntos críticos de I(p):

I'(p)=-20p+9500=0~;\\\\20p=9500\rightarrow p=475

Veamos si este punto crítico corresponde a un máximo utilizando el test de la derivada segunda:

I''(p)=-20\rightarrow I''(475)=-20<0

Luego, los ingresos se hacen máximos si el precio de cada teléfono es de 475€ y obteniéndose un ingreso de:

I(475)=2.256.250

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s