Una compañía de móviles presentó hace un año un teléfono inteligente al precio de 750 €. Recientemente, un estudio de mercado ha llegado a la conclusión de que, con este precio, compran el teléfono 2.000 clientes al mes, y que la relación entre estas dos variables es lineal, de manera que por cada 10 € que se incrementa el precio del móvil, lo compran 100 clientes menos, y al revés: por cada 10 € de descuento sobre el precio inicial de 750 €, lo compran 100 clientes más.
a) Deducir que la función que determina los ingresos mensuales de la compañía según el precio del móvil es .
b) Hallar cuál debe ser el precio del móvil para obtener ingresos, el precio del móvil que da los ingresos mensuales más elevados y el valor de estos ingresos máximos.
Solución:
a) Hemos de calcular la función que da los ingresos I en función del precio p del teléfono.
El ingreso es el precio unitario de cada teléfono p multiplicado por el número de ventas que se realicen v.
El precio unitario depende del número de aumentos x de 10€ que se hagan al precio original de 750€. A más aumentos de 10€ se haga al precio original, más caro será el precio p del teléfono:
Despejamos x:
Por otra parte, las ventas v dependen del número de aumentos x que se haga al precio. A partir de 2000 ventas, se pierden 100 ventas por cada aumento en el precio:
Sustituimos (2) en (3):
Y sustituyendo (4) en (1):
b) Nos piden encontrar el precio unitario del teléfono que maximiza los ingresos. Calculamos los puntos críticos de :
Veamos si este punto crítico corresponde a un máximo utilizando el test de la derivada segunda:
Luego, los ingresos se hacen máximos si el precio de cada teléfono es de 475€ y obteniéndose un ingreso de:
€
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