Problema 810

El número de individuos, en millones, de una población viene determinado por la función P(t)=\dfrac{5+t^2}{(t+1)^2}, donde t mide el número de años transcurridos.

a) ¿Cuál es la población inicial y la población después de 9 años? ¿A partir de qué momento la población será inferior a un millón de individuos?
b) Con el paso de los años, hacia qué valor tenderá el número de individuos de la población?


Solución:

a) La población inicial es:

P(0)=\dfrac{5+0^2}{(0+1)^2}=5

es decir, 5 millones de habitantes.
A los 9 años, la población es:

P(9)=\dfrac{5+9^2}{(9+1)^2}=\dfrac{86}{100}=0.86

es decir, 860.000 habitantes.

La función P está definida para todos los valores de t≥0 donde es continua. No se consideran los valores negativos de la magnitud tiempo.
Calculamos t donde P(t)=1:

\dfrac{5+t^2}{(t+1)^2}~;\\\\5+t^2=(t+1)^2~;\\\\5+t^2=t^2+2t+1~;\\\\2t-4=0\rightarrow t=2

En t=2 años, es el único instante donde la población es de 1 millón de habitantes, y dado que P es continua para t≥0, y P(0)=5 y P(9)=0.86, entonces, a partir de t=2 años, la población siempre será inferior a 1 millón de habitantes.


b) Con el paso de los años, la población tiende a:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{5+t^2}{(t+1)^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{5+t^2}{t^2+2t+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{t^2}{t^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}1=1

La población tenderá a ascender a 1 millón de habitantes.

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