Problema 811

Sea la función f(x)=\dfrac{x^2-3x}{x^2-4}.

a) Indicar justificadamente el dominio y determine los puntos en que la gráfica
de f corta el eje de las abscisas.
b) Estudiar el crecimiento y haga un esbozo aproximado de la gráfica de la función.


Solución:

a) El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador:

x^2-4=0\rightarrow x^2=4\rightarrow x=\pm2

Luego, el dominio de f es \mathbb R\setminus\{-2,2\}.

La función f corta al eje de abscisas donde f(x)=0:

\dfrac{x^2-3x}{x^2-4}=0\rightarrow x^2-3x=0\rightarrow x(x-3)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=3, luego, los puntos de corte de f con el eje de abscisas son (0,0) y (3,0).


b) Para estudiar la monotonía de f, comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=\dfrac{(2x-3)(x^2-4)-(x^2-3x)2x}{(x^2-4)^2}=\dfrac{2x^3-8x-3x^2+12-2x^3+6x^2}{(x^2-4)^2}=\\\\=\dfrac{3x^2-8x+12}{(x^2-4)^2}=0~;\\\\3x^2-8x+12=0

Esta última es una ecuación de segundo grado sin soluciones reales, luego, f no tiene puntos críticos.
Teniendo en cuenta solo el dominio, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Sólo con el dominio, puntos de corte con los ejes y monotonía, no hay suficiente información para hacer un esbozo de la gráfica. Para tener algo más de información, sería conveniente calcular, al menos, sus asíntotas.

  • Asíntotas verticales en x=-2 y x=2:

\displaystyle\bullet\lim_{x\rightarrow-2^-}\dfrac{x^2-3x}{x^2-4}=\dfrac{10}{0^+}=+\infty\\\\\bullet\lim_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{x^2-3x}{x^2-4}=\dfrac{10}{0^-}=-\infty\\\\\bullet\lim_{x\rightarrow2^-}\dfrac{x^2-3x}{x^2-4}=\dfrac{-2}{0^-}=+\infty\\\\\bullet\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x^2-3x}{x^2-4}=\dfrac{-2}{0^+}=-\infty

Luego, tiene asíntotas verticales de ecuaciones x=-2 y x=2.

  • Asíntota horizontal:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2-3x}{x^2-4}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}1=1

Luego, f tiene asíntota horizontal de ecuación y=1.

Con todos estos datos, el esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente gráfica:

p811

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