Sea la función .
a) Indicar justificadamente el dominio y determine los puntos en que la gráfica
de f corta el eje de las abscisas.
b) Estudiar el crecimiento y haga un esbozo aproximado de la gráfica de la función.
Solución:
a) El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador:
Luego, el dominio de f es .
La función f corta al eje de abscisas donde :
Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=3, luego, los puntos de corte de f con el eje de abscisas son (0,0) y (3,0).
b) Para estudiar la monotonía de f, comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):
Esta última es una ecuación de segundo grado sin soluciones reales, luego, f no tiene puntos críticos.
Teniendo en cuenta solo el dominio, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:
Sólo con el dominio, puntos de corte con los ejes y monotonía, no hay suficiente información para hacer un esbozo de la gráfica. Para tener algo más de información, sería conveniente calcular, al menos, sus asíntotas.
- Asíntotas verticales en x=-2 y x=2:
Luego, tiene asíntotas verticales de ecuaciones x=-2 y x=2.
- Asíntota horizontal:
Luego, f tiene asíntota horizontal de ecuación y=1.
Con todos estos datos, el esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente gráfica:
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