Problema 811

Sea la función .

a) Indicar justificadamente el dominio y determine los puntos en que la gráfica
de f corta el eje de las abscisas.
b) Estudiar el crecimiento y haga un esbozo aproximado de la gráfica de la función.


Solución:

a) El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador:

Luego, el dominio de f es .

La función f corta al eje de abscisas donde :

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=3, luego, los puntos de corte de f con el eje de abscisas son (0,0) y (3,0).


b) Para estudiar la monotonía de f, comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

Esta última es una ecuación de segundo grado sin soluciones reales, luego, f no tiene puntos críticos.
Teniendo en cuenta solo el dominio, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

Sólo con el dominio, puntos de corte con los ejes y monotonía, no hay suficiente información para hacer un esbozo de la gráfica. Para tener algo más de información, sería conveniente calcular, al menos, sus asíntotas.

  • Asíntotas verticales en x=-2 y x=2:

Luego, tiene asíntotas verticales de ecuaciones x=-2 y x=2.

  • Asíntota horizontal:

Luego, f tiene asíntota horizontal de ecuación y=1.

Con todos estos datos, el esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente gráfica:

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