Problema 812

Considere el pentágono ABCDE de la figura siguiente:

p812

a) Justificar que la región sombreada no se puede representar mediante un sistema de inecuaciones.
b) Escriba el sistema de inecuaciones que determina los puntos de la frontera y del interior del triángulo AED.


Solución:

a) Para que un conjunto de puntos del plano provenga de un sistema de inecuaciones lineales (región factible), es necesario que dicho conjunto sea convexo, esto es, para cualquier par de puntos de la región factible se forma un segmento recto cuyos puntos están todos dentro de la región factible, y este no es el caso.
Por ejemplo, si unimos los puntos (1,2) y (5,2) con un segmento recto, habría puntos del segmento fuera de la región factible, por tanto, el conjunto de puntos de la región factible no es convexo y no se puede escribir como un sistema de inecuaciones lineales.


b) El triángulo AED sí es un conjunto convexo y podemos escribirlo como un sistema de inecuaciones lineales.

El segmento AD pertenece al eje de abscisas y=0. El interior del triángulo AED cumple y≥0.

El segmento AE pertenece a la bisectriz del primer cuadrante y=x. El interior del triángulo AED cumple que y\leq x.

El segmento ED pasa por los puntos (3,3) y (6,0), y pertenece a una recta que tiene pendiente y ordenada en el origen:

m=\dfrac{0-3}{6-3}=-1\\\\n=3-(-1)\cdot3=6

es decir, la recta y=-x+6. El interior del triángulo AED cumple y\leq-x+6.

El sistema de inecuaciones que da lugar a la región factible del triángulo AED es:

\left\{\begin{array}{l}y\geq0\\y\leq x\\y\leq-x+6\end{array}\right.

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