Problema 813

Sea y=f(x) una parábola que tiene el vértice en el punto V = (0, -4) y corta el eje de las abscisas en los puntos (-2, 0) y (2, 0).

a) Determine su ecuación.
b) Sea una función g tal que g'(x)=f(x). Estudiar el crecimiento de la función g, determinar las abscisas de los extremos relativos y clasificalos.


Solución:

a) La ecuación de una función cuadrática cuya gráfica es una parábola es:

f(x)=ax^2+bx+c

Calcularemos a, b y c resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{array}{l}(0,-4)\\(-2,0)\\(2,0)\end{array}\rightarrow\left\{\begin{array}{l}-4=a\cdot0^2+b\cdot0+c\\0=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c\\0=a\cdot2^2+b\cdot2+c\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{l}-4=c\\0=4a-2b+c\\0=4a+2b+c\end{array}\right.

Sustituyendo la primera ecuación en las otras dos:

\left\{\begin{array}{l}4=4a-2b\\4=4a+2b\end{array}\right.

Sumando estas dos ecuaciones obtenemos 8=8a de donde a=1.
Sustituyendo en la segunda ecuación 2b=0 de donde b=0.

La ecuación buscada es:

f(x)=x^2-4


b) Nos piden estudiar la monotonía de g. Comenzamos calculando sus puntos críticos g'(x)=f(x)=0:

x^2-4=0~;\\\\x^2=4~;\\\\x=\pm2

Con estos dos puntos críticos, estudiamos la monotonía de g en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }g(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

A la vista de la tabla de monotonía se concluye que:

  • g crece en (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)
  • g decrece en (-2,2).
  • Máximo local en x=-2.
  • Mínimo local en x=2.

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