Problema 816

Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSS, ,

A continuación se muestra la gráfica de una función f que presenta un mínimo relativo en el punto de abscisa x = -1 y un máximo relativo en el punto de abscisa x = 1.

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a) Sabiendo que f ´(0) = 1, determine la ecuación de la recta tangente a f que pasa por el origen de coordenadas.
b) Haga un esbozo de la gráfica de la función f ´ con los datos de que dispone.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

Para x_0=0 sabemos que f'(0)=1 y, a la vista de la gráfica, f(0)=0, luego, la recta tangente es:

y=1(x-0)+0~;\\\\\boxed{y=x}

b) A partir de la monotonía de f, podemos obtener el signo de f ´:

  • f crece en (-1,1)
  • f decrece en (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)

Luego, f ´ es una función negativa en (-\infty,-1)\cup(1,+\infty) y positiva en (-1,1).
Nos dicen que f'(0)=1, luego, la gráfica de f ´ pasa por el punto (0,1).
También nos dicen que en x=-1 y x=1, la función f presenta un mínimo y un máximo, luego, f'(-1)=f'(1)=0, es decir, la gráfica de f ´ pasa por los puntos (-1,0) y (1,0).

Con todos esos datos, un posible esbozo de la gráfica de f ´ es:

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