A continuación se muestra la gráfica de una función f que presenta un mínimo relativo en el punto de abscisa x = -1 y un máximo relativo en el punto de abscisa x = 1.

a) Sabiendo que f ´(0) = 1, determine la ecuación de la recta tangente a f que pasa por el origen de coordenadas.
b) Haga un esbozo de la gráfica de la función f ´ con los datos de que dispone.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa es:

Para sabemos que y, a la vista de la gráfica, , luego, la recta tangente es:

b) A partir de la monotonía de f, podemos obtener el signo de f ´:

• f crece en (-1,1)
• f decrece en

Luego, f ´ es una función negativa en y positiva en (-1,1).
Nos dicen que , luego, la gráfica de f ´ pasa por el punto (0,1).
También nos dicen que en x=-1 y x=1, la función f presenta un mínimo y un máximo, luego, , es decir, la gráfica de f ´ pasa por los puntos (-1,0) y (1,0).

Con todos esos datos, un posible esbozo de la gráfica de f ´ es:

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