Problema 817

Considere la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2x+3&\text{si}&x\leq-1\\ax+b&\text{si}&-1<x<2\\x^2&\text{si}&x\geq2\end{array}\right.

Encuentre el valor de a y b para que la función sea continua para todos los números reales.


Solución:

Primero estudiamos la continuidad en x=-1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}2x+3=1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}ax+b=-a+b\\\bullet~f(-1)=2\cdot(-1)+3=1

Para que f sea continua en x=-1, ha de ser, 1=-a+b.

Estudiamos la continuidad en x=2:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}ax+b=2a+b\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}x^2=4\\\bullet~f(2)=2^2=4

Para que f sea continua en x=2, ha de ser, 2a+b=4.

Uniendo las dos ecuaciones obtenemos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}-a+b=1\\2a+b=4\end{array}\right.

cuya solución es a=1, b=2. Siendo estos los valores de a y b, la función f es continua para todos los número reales.

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