Problema 818

Al terminar un curso de pintura, los alumnos reciben como obsequio un estuche con rotuladores y colores. Se regalan dos tipos de estuches: los rojos, que contienen 1 rotulador y 2 colores y cuestan 9 €, y los verdes, que llevan 3 rotuladores y 1 color y cuestan 15 €. La escuela dispone de 200 rotuladores y 100 colores para llenar los estuches. Necesita preparar al menos 40 estuches y que el número de estuches rojos no supere el número de estuches verdes. Con estos datos, la escuela quiere calcular el precio que tendrá que pagar por estos obsequios.

a) Determinar la función objetivo y las restricciones, y dibuje la región de las posibles opciones de la escuela.
b) Calcular cuántos estuches de cada tipo hay que preparar para que el gasto sea mínima y diga cuál es esa gasto mínimo.


Solución:

a) Sea x el número de estuches rojos e y el número de estuches verdes. En la siguiente tabla agrupamos los datos por estuche:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{Rotuladores}&\text{Colores}\\\hline\text{Rojos}&1&2\\\hline\text{Verdes}&3&1\\\hline\end{array}

Se dispone de un máximo de 200 rotuladores:

x+3y\leq200

y de 100 colores:

2x+y\leq100

Necesitan preparar al menos 40 estuches:

x+y\geq40

El número de estuches rojos no debe superar el número de estuches verdes:

x\leq y

Si a estas restricciones añadimos las restricciones de positividad, obtenemos el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+3y\leq200\\2x+y\leq100\\x+y\geq40\\x\leq y\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

A partir del sistema de inecuaciones anterior obtenemos las siguientes ecuaciones de las rectas que representamos a continuación:

\left\{\begin{array}{l}x+3y=200\\2x+y=100\\x+y=40\\x=y\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p818

La región factible es la región sombreada que cumple todas las restricciones.

La función objetivo f es:

f(x,y)=9x+15y


b) Hemos de encontrar el mínimo de la función objetivo en uno de los vértices de la región factible. Calculamos esos vértices:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=40\\x=0\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,40)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+3y=200\\x=0\end{array}\right.&\rightarrow B=(0,66.7)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+3y=200\\2x+y=100\end{array}\right.&\rightarrow C=(20,60)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=y\\2x+y=100\end{array}\right.&\rightarrow D=(33.3,33.3)\\E\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=y\\x+y=40\end{array}\right.&\rightarrow E=(20,20)\end{array}

Evaluamos la función objetivo en cada uno de los vértices:

A\rightarrow f(0,40)=9\cdot0+15\cdot40=600\\B\rightarrow f(0,66.6)=15\cdot66.7=1000\\C\rightarrow f(20,60)=1080\\D\rightarrow f(33.3,33.3)=800\\E\rightarrow f(20,20)=480

El gasto mínimo se obtiene en el vértice E, es decir, preparando 20 estuches rojos y otros 20 estuches verdes. En ese caso el gasto es de 480€.

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