Problema 819

Un inversor ha obtenido un beneficio de 1.500 € tras invertir un total de 40.000 € en tres empresas diferentes. Estos beneficios se desglosan de la siguiente manera: la cantidad invertida en la empresa A le ha reportado un 2% de beneficios, la cantidad invertida en la empresa B, un 5%, y la cantidad invertida en la empresa C, un 7%. El dinero invertido en la empresa B ha sido el mismo que en las otras dos empresas juntas.
¿Cuál fue la cantidad invertida en cada una de las tres empresas?


Solución:

Sea x el dinero invertido en la empresa A, y el dinero invertido en la empresa B y z el dinero invertido en la empresa C.
En total ha invertido 40.000€:

x+y+z=40000

Los beneficios totales han sido de 1.500€:

0.02x+0.05y+0.07z=1500

El dinero invertido en la empresa B ha sido el mismo que en las otras dos empresas juntas:

y=x+z

Con estas tres ecuaciones formamos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}x+y+z=40000\\2x+5y+7z=150000\\x-y+z=0\end{array}\right.

que resolvemos por el método de Gauss-Jordan:

\left\{\begin{array}{r}x+y+z=40000\\2x+5y+7z=150000\\x-y+z=0\end{array}\right.\rightarrow\left[\begin{array}{c}E_2-2E_1\rightarrow E_2\\E_3-E_1\rightarrow E_1\end{array}\right]\rightarrow\left\{\begin{array}{r}x+y+z=40000\\3y+5z=70000\\-2y=-40000\end{array}\right.

De la tercera ecuación obtenemos y=20000. De la segunda ecuación:

3\cdot20000+5z=70000\rightarrow z=2000

Y de la primera ecuación:

x+20000+2000=40000\rightarrow x=18000

Es decir, el inversor invirtió 18.000€ en la empresa A, 20.000€ en la empresa B y 2.000€ en la empresa C.

 

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