Problema 820

El gasto mensual en tabaco de un fumador viene determinada por su salario mediante la función f(x)=\dfrac{400x}{x^2+4}, donde x representa el salario en miles de euros y f (x) el gasto mensual en tabaco en euros.

a) Determinar el salario para el que el gasto en tabaco es máxima. ¿A cuánto asciende este gasto?
b) ¿Para qué salario el gasto mensual es inferior a 60 €?


Solución:

a) Calculamos los puntos críticos de f (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=\dfrac{400(x^2+4)-400x\cdot2x}{(x^2+4)^2}=0~;\\\\400x^2+1600-800x^2=0~;\\\\-400x^2+1600=0~;\\\\x^2=4~;\\\\x=\pm2

Dado que x representa el salario del fumador entonces x≥0. El denominador de f se puede demostrar que no tiene ceros.
Estudiamos la monotonía de f para caracterizar el punto crítico x=2:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Luego, en x=2 la función f presenta un máximo. Es decir, si el salario es de 2000€, obtiene el máximo gasto mensual en tabaco que asciende a:

f(2)=\dfrac{400\cdot2}{2^2+4}=\dfrac{800}8=100


b) Resolvemos la ecuación f(x)=60:

\dfrac{400x}{x^2+4}=60~;\\\\400x=60x^2+240~;\\\\6x^2-40x+24=0~;\\\\3x^2-20x+12=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=\frac23,~x=6. Luego, recordando el dominio de f, donde f es continua y derivable, y la tabla de monotonía, podemos asegurar que para que f tenga una valor inferior a 60, ha de ser:

x\in[0,\frac23)\cup(6,+\infty)

es decir, el salario no debe estar comprendido entre 667€ y 6000€.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s