Problema 821

Resuelve las siguientes preguntas:

a) Encuentre las matrices A y B que cumplen que

A-2B=\begin{pmatrix}1&13\\0&-5\end{pmatrix}\qquad 2A+3B=\begin{pmatrix}2&-9\\7&4\end{pmatrix}

b) Determinar el valor de a, b, c y d para que se verifique que

\begin{pmatrix}1&2\\a&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&c\\2&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b&-5\\d&-7\end{pmatrix}


Solución:

a) Definimos C=\begin{pmatrix}1&13\\0&-5\end{pmatrix} y D=\begin{pmatrix}2&-9\\7&4\end{pmatrix}, entonces, tenemos que resolver el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{c}A-2B=C\\2A+3B=D\end{array}\right.

Multiplicamos la primera ecuación por -2:

\left\{\begin{array}{c}-2A+4B=-2C\\2A+3B=D\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones tenemos:

7B=D-2C~;\\\\B=\dfrac17(D-2C)~;\\\\B=\dfrac17\left(\begin{pmatrix}2&-9\\7&4\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1&13\\0&-5\end{pmatrix}\right)=\dfrac17\begin{pmatrix}0&-35\\7&14\end{pmatrix}~;\\\\\boxed{B=\begin{pmatrix}0&-5\\1&2\end{pmatrix}}

Y, de la primera ecuación del sistema:

A=C+2B~;\\\\A=\begin{pmatrix}1&13\\0&-5\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0&-5\\1&2\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}1&3\\2&-1\end{pmatrix}=A}


b) Multiplicamos las matrices:

\begin{pmatrix}1&2\\a&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&c\\2&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&c-8\\2&ac-4\end{pmatrix}

Igualamos:

\begin{pmatrix}4&c-8\\2&ac-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b&-5\\d&-7\end{pmatrix}

Y obtenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{l}4=b\\c-8=-5\\2=d\\ac-4=-7\end{array}\right.

Sistema cuya solución es: b=4,~c=3,~d=2,~a=-1.

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