Problema 822

Sabemos que la función f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+1} pasa por el punto (2, -5) y que las rectas x=1 e y=2 son las asíntotas vertical y horizontal, respectivamente. Calcular a, b y c.


Solución:

La función f es una función de proporcionalidad inversa. Sabemos que f tiene su asíntota vertical donde se anula el denominador, es decir, que el numerador se anula para x=1:

c\cdot1+1=0~;\\\\\boxed{c=-1}

Dice el enunciado que la asíntota horizontal es y=2, es decir, \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=2:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{ax+b}{cx+1}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{ax}{cx}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac ac=\dfrac ac=2

De donde a=2c, y dado que c=-1, entonces \boxed{a=-2}.

Por último, nos dicen que f pasa por el punto (2,-5), es decir, f(2)=-5:

f(2)=\dfrac{2a+b}{2c+1}

dado que a=-2 y c=-1, entonces:

\dfrac{-4+b}{-2+1}=4-b=-5~;\\\\\boxed{b=9}

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