Problema 823

De una función y=f(x) sabemos que su derivada es f'(x)=x^3-4x.

a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y=f(x).
b) Determinar las abscisas de sus extremos relativos y clasificarlos.


Solución:

a) La monotonía de f depende del signo de su derivada. En primer lugar calculamos los puntos críticos de f:

x^3-4x=0~;\\x(x^2-4)=0

Los puntos críticos de f son x=0, x=2, x=-2. Con estos puntos críticos y teniendo en cuenta que el dominio de f es el de una función polinómica, construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f es creciente en (-2,0)\cup(2,+\infty)
  • f es decreciente en (-\infty,-2)\cup(0,2)

b) Los candidatos a extremos relativos son los puntos críticos: x=0, x=-2, x=2.
A la vista de la tabla de monotonía observamos:

  • En x=0, f presenta un máximo.
  • En x=-2, f presenta un mínimo.
  • En x=2, f presenta un mínimo.

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