Problema 823

De una función $y=f(x)$ sabemos que su derivada es $f'(x)=x^3-4x$ .

a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $y=f(x)$ .
b) Determinar las abscisas de sus extremos relativos y clasificarlos.

Solución:

a) La monotonía de f depende del signo de su derivada. En primer lugar calculamos los puntos críticos de f:

$x^3-4x=0~;\\x(x^2-4)=0$

Los puntos críticos de f son x=0, x=2, x=-2. Con estos puntos críticos y teniendo en cuenta que el dominio de f es el de una función polinómica, construimos la siguiente tabla de monotonía:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$