Problema 824

Desde una barca se dispara una bengala de salvamento marítimo que se apaga al cabo de 4 minutos. En este intervalo de tiempo, se comprueba que la intensidad lumínica de la bengala en función del tiempo, medida en porcentajes del 0% al 100%, queda perfectamente descrita por la expresión L(t)=25t(4-t), donde el tiempo t varía entre 0 y 4 minutos.

a) Calcular para qué valor de t el porcentaje de intensidad lumínica será máximo.
b) Si desde la costa la bengala sólo es visible cuando su intensidad lumínica es superior al 75%, ¿cuál es el intervalo de tiempo en que será visible desde la costa y, por tanto, será más factible el salvamento?


Solución:

a) Calculamos los puntos críticos de la función polinómica L (recordar la tabla de derivadas):

L'(t)=25(4-t)+25t(-1)=100-50t=0~;\\\\50t=100~;\\\\t=2

Para caracterizar el punto crítico, construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,2)&(2,4)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Luego, según la tabla de monotonía, para t=2 min la luminosidad es máxima.


b) Resolvemos la ecuación L(t)=75:

25t(4-t)=75~;\\\\4t-t^2=3~;\\\\t^2-4t+3=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son t=1 y t=3.
Teniendo en cuenta estas soluciones y la monotonía estudiada en el apartado anterior, el intervalo de tiempo donde es más factible el salvamento es [1,3] min.

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