Problema 825

Considere las matrices A=\begin{pmatrix}1&5\\5&1\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},~C=\begin{pmatrix}1&-1\\m&n\end{pmatrix}, donde m y n son dos números reales.

a) Comprobar que se cumple la igualdad (A-B)(A+B)=A^2-B^2.
b) Determine m y n de forma que las matrices B y C conmuten, es decir, BC=CB.


Solución:

a) El producto propuesto vale:

(A-B)(A+B)=A^2+AB-BA-B^2

Para que (A-B)(A+B)=A^2-B^2, ha de ser AB-BA=\mathbf0, donde \mathbf0 es la matriz nula. Es decir, las matrices AB han de ser conmutativas.
Veamos si son conmutativas en nuestro caso:

AB=\begin{pmatrix}1&5\\5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\1&5\end{pmatrix}\\\\BA=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&5\\5&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\1&5\end{pmatrix}

Observamos que A y B son conmutativas, por tanto, (A-B)(A+B)=A^2-B^2.


b) Comenzamos calculando los productos:

BC=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\m&n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m&n\\1&-1\end{pmatrix}\\\\CB=\begin{pmatrix}1&-1\\m&n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\n&m\end{pmatrix}

Para que ambas matrices sean iguales ha de cumplirse:

\left\{\begin{array}{l}m=-1\\n=1\\1=n\\-1=m\end{array}\right.

Sistema cuya solución es m=-1 y n=1.

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