Problema 826

Tenemos unas cuantas monedas de un euro distribuidas en tres pilas. Pasamos doce monedas de la tercera pila a la segunda y, a continuación, pasamos diez de la segunda pila a la primera. Una vez hecho esto, las tres pilas tienen la misma cantidad de monedas.

a) Con estos datos, ¿podemos determinar la cantidad de monedas que había inicialmente en cada pila? Razonar la respuesta.
b) Averigüe la cantidad de monedas que había inicialmente cada pila si sabemos que en total hay 51 monedas.


Solución:

a) Tenemos x monedas en la primera pila, y monedas en la segunda pila y z monedas en la tercera pila.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline\text{Pila 1}&\text{Pila 2}&\text{Pila 3}\\\hline x&y&z\\\hline\end{array}

Se pasan 12 monedas de la tercera pila a la segunda:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline\text{Pila 1}&\text{Pila 2}&\text{Pila 3}\\\hline x&y+12&z-12\\\hline\end{array}

Se pasan 10 monedas de la segunda pila a la primera:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline\text{Pila 1}&\text{Pila 2}&\text{Pila 3}\\\hline x+10&y+2&z-12\\\hline\end{array}

Ahora todas las pilas tienen las mismas monedas, es decir:

\left\{\begin{array}{c}x+10=y+2\\x+10=z-12\end{array}\right.

La ecuación y+2=z-12 es combinación lineal de las otras dos (esta ecuación se obtiene restando las otras dos), luego tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, por lo que el sistema no puede ser compatible determinado y no se puede determinar cuantas monedas había en cada pila.


b) Nos dicen que en total hay 51 monedas:

x+y+z=51

Esta ecuación, junto con las otras dos del apartado a), nos da el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{ll}x+y+z=51\\x+10=y+2\\x+10=z-12\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{ll}x+y+z&=51\\x-y&=-8\\x-z&=-22\end{array}\right.

Resolvemos este sistema por el método de Gauss-Jordan:

\left\{\begin{array}{ll}x+y+z&=51\\x-y&=-8\\x-z&=-22\end{array}\right.\rightarrow\Big[E_3+E_1\rightarrow E_1\Big]\rightarrow\left\{\begin{array}{ll}x+y+z&=51\\x-y&=-8\\2x+y&=29\end{array}\right.\rightarrow\\\\\rightarrow\Big[E_3+E_2\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\left\{\begin{array}{ll}x+y+z&=51\\x-y&=-8\\3x&=21\end{array}\right.

De la tercera ecuación obtenemos x=7. De la segunda ecuación:

x-y=-8~;\\\\y=7+8=15

De la primera ecuación:

x+y+z=51~;\\\\z=51-7-15=29

Luego, inicialmente habían 7 monedas en la primera pila, 15 monedas en la segunda y 29 monedas en la tercera pila.

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