Problema 827

Una compañía aérea quiere organizar para este verano un puente aéreo entre el aeropuerto de Barcelona – El Prat y el de Palma de Mallorca, con plazas suficientes de pasaje y carga para transportar al menos 1.600 personas y 96 toneladas de equipaje y mercancías. Para hacerlo, tiene a su disposición 11 aviones del tipo A, que pueden transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje y mercancías cada uno, y 8 aviones del tipo B, que pueden transportar 100 personas y 15 toneladas cada uno. Si la contratación de un avión del tipo A cuesta 4.000 euros y la de un avión del tipo B en cuesta 1.000:

a) Determinar la función objetivo y las restricciones, y dibuje la región de las posibles opciones que tiene la compañía.
b) Calcular el número de aviones de cada tipo que hay que contratar para que el coste sea el mínimo y determine cuál es ese coste mínimo.


Solución:

a) Sea x el número de aviones de tipo A e y el número de aviones de tipo B que la compañía debe contratar. Con los datos aportados en el enunciado podemos construir la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{Personas}&\text{Mercanc\'ias  (ton)}\\\hline\text{Tipo A}&200&6\\\hline\text{Tipo B}&100&15\\\hline\end{array}

Se deben transportar al menos 1600 personas:

200x+100y\geq1600

y 96 toneladas de equipajes y mercancías:

6x+15y\geq96

Si a estas dos restricciones le añadimos las restricciones de positividad, obtenemos el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}200x+100y\geq1600\\6x+15y\geq96\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos en la siguiente gráfica:

\left\{\begin{array}{l}200x+100y=1600\\6x+15y=96\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p827

La región sombreada es la región factible. Queda ahora obtener la función objetivo que corresponde al precio total de los vuelos en función del tipo de avión utilizado. Sabemos que la contratación del tipo A es de 4000 € y el de tipo de B es de 1000 €:

f(x,y)=4000x+1000y


b) Calculamos ahora los vértices de la región factible resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las rectas que forman dicho vértice:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\200x+100y=1600\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,16)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}6x+15y=96\\200x+100y=1600\end{array}\right.&\rightarrow B=(6,4)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}6x+15y=96\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow C=(16,0)\end{array}

Evaluamos la función objetivo en cada uno de los vértices:

A\rightarrow f(0,16)=4000\cdot0+1000\cdot16=16000\\B\rightarrow f(6,4)=28000\\C\rightarrow f(16,0)=64000

El resultado que minimiza la función obtetivo es x=0, y=16. Luego, el coste es mínimo utilizando 16 aviones de tipo B con un coste de contratación de 16.000 €.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s