Problema 828

Considere la función f(x)=-x^2+bx+c, con b y c números reales.

a) Encuentre b y c de modo que la gráfica de la función pase por el punto (-1, 0) y tenga un extremo local en el punto de abscisa x = 3. Razonar de qué tipo de extremo relativo se trata.
b) Para el caso b = 3 y c = 2, encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica que es paralela a la recta y = 5x – 2.


Solución:

a) Dicen que la función pasa por el punto (-1,0), es decir, f(-1)=0:

f(-1)=-(-1)^2+b\cdot(-1)+c=-1-b+c=0

También dicen que f tiene un extremo local en x=3, es decir, f'(3)=0:

f'(x)=-2x+b~;\\\\f'(3)=-2\cdot3+b=-6+b=0

Con las dos ecuaciones formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{l}-b+c=1\\b=6\end{array}\right.

cuya solución es b=6 y c=7.

Por último, para caracterizar el extremo local en x=3, utilizamos el test de la derivada segunda:

f''(x)=-2~;\\\\f''(3)=-2<0

Luego, el extremo es un máximo.


b) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

Tenemos la función f(x)=-x^2+3x+2.
Nos piden la recta tangente que es paralela a la recta y=5x-2, cuya pendiente es m=5.
La pendiente de la recta tangente es f'(x_0), y para que sea paralela a recta anterior ha de ser f'(x_0)=5:

f'(x)=-2x+3~;\\\\f'(x_0)=-2x_0+3=5\rightarrow x_0=-1

Ya tenemos x_0 y podemos construir la ecuación de la recta tangente buscada:

f(-1)=-(-1)^2+3\cdot(-1)+2=-1-3+2=-2\\\\y=5(x-(-1))-2~;\\\\y=5x+5-2~;\\\\\boxed{y=5x+3}

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