Problema 829

Un taller de joyería dispone de 150 gramos de plata y de 180 horas de trabajo para producir dos modelos de anillos. Para hacer un anillo del modelo A se necesitan 6 gramos de plata y 3 horas de trabajo, mientras que para hacer un del modelo B se necesitan 2 gramos de plata y 6 horas de trabajo. Los anillos de los modelos A y B proporcionan, respectivamente, 35 y 55 euros de beneficio por unidad.
Sabiendo que se venderá toda la producción, determine cuántos anillos de cada modelo hay que producir para obtener el máximo beneficio e indique cuál es este beneficio.


Solución:

Sea x el número de anillos de modelo A e y el número de anillos de modelo B. Veamos en la siguiente tabla como se construye cada modelo de anillo:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{Plata}&\text{Horas}\\\hline\text{Modelo A}&6&3\\\hline\text{Modelo B}&2&6\\\hline\end{array}

En total se dispone de 150 gramos de plata:

6x+2y\leq150

Y de 180 horas de trabajo:

3x+6y\leq180

Añadimos las restricciones de positividad y obtenemos el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}6x+2y\leq150\\3x+6y\leq180\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas y representamos la región factible en la siguiente gráfica:

\left\{\begin{array}{l}6x+2y=150\\3x+6y=180\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p829

Calculamos los cuatro vértices de la región factible resolviendo el sistema de ecuaciones formado con las ecuaciones de las rectas que forman cada vértice:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,0)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\3x+6y=180\end{array}\right.&\rightarrow B=(0,30)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}6x+2y=150\\3x+6y=180\end{array}\right.&\rightarrow C=(18,21)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}6x+2y=150\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow D=(25,0)\end{array}

Cada anillo del modelo A da un beneficio de 35 € y cada anillo del modelo B da un beneficio de 55 €. La función que da el beneficio total tras vender los x anillos del modelo A e y anillos del modelo B es:

f(x,y)=35x+55y

El máximo beneficio se obtiene para uno de los vértices de la región factible. Evaluamos la función beneficio en cada vértice:

A\rightarrow f(0,0)=35\cdot0+55\cdot0=0\\B\rightarrow f(0,30)=55\cdot 30=1650\\C\rightarrow f(18,21)=1785\\D\rightarrow f(25,0)=875

El máximo beneficio se obtiene en el vértice C, es decir, produciendo 18 anillos del modelo A y 21 anillos del modelo B. En este caso se obtendría un beneficio total de 1785€.

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