Un taller de joyería dispone de 150 gramos de plata y de 180 horas de trabajo para producir dos modelos de anillos. Para hacer un anillo del modelo A se necesitan 6 gramos de plata y 3 horas de trabajo, mientras que para hacer un del modelo B se necesitan 2 gramos de plata y 6 horas de trabajo. Los anillos de los modelos A y B proporcionan, respectivamente, 35 y 55 euros de beneficio por unidad.
Sabiendo que se venderá toda la producción, determine cuántos anillos de cada modelo hay que producir para obtener el máximo beneficio e indique cuál es este beneficio.

Solución:

Sea x el número de anillos de modelo A e y el número de anillos de modelo B. Veamos en la siguiente tabla como se construye cada modelo de anillo:

En total se dispone de 150 gramos de plata:

Y de 180 horas de trabajo:

Añadimos las restricciones de positividad y obtenemos el siguiente sistema de inecuaciones:

Escribimos las ecuaciones de las rectas y representamos la región factible en la siguiente gráfica:

Calculamos los cuatro vértices de la región factible resolviendo el sistema de ecuaciones formado con las ecuaciones de las rectas que forman cada vértice:

Cada anillo del modelo A da un beneficio de 35 € y cada anillo del modelo B da un beneficio de 55 €. La función que da el beneficio total tras vender los x anillos del modelo A e y anillos del modelo B es:

El máximo beneficio se obtiene para uno de los vértices de la región factible. Evaluamos la función beneficio en cada vértice:

El máximo beneficio se obtiene en el vértice C, es decir, produciendo 18 anillos del modelo A y 21 anillos del modelo B. En este caso se obtendría un beneficio total de 1785€.

♦