Problema 832

Las pérdidas o los beneficios de una empresa vienen dados por la función f(t)=\dfrac{3t-6}{t+2}, donde f se expresa en cientos de miles de euros, una vez transcurridos t años desde el inicio de 2010.

a) Hacer un esbozo de la gráfica de la función f (t) para t> 0, calculando los intervalos de crecimiento, los cortes con los ejes y las asíntotas.
b) Al inicio del año 2010, ¿cuantos euros perdía o ganaba la empresa? ¿Qué años tuvo pérdidas la empresa y a partir de qué año dejó de tenerla?
c) ¿A partir de qué año las ganancias de la empresa fueron mayores o iguales a un centenar de miles de euros? ¿Se pueden superar los tres centenares de miles de euros de beneficios? Razonar las respuestas.


Solución:

a) La función y=f(t) es una función de proporcionalidad inversa cuya gráfica es una hipérbola. El dominio de f es \mathbb R\setminus{-2}, siendo t=-2 la ecuación de su asíntota vertical. Sin embargo, en este problema solo se considera t>0.

Calculamos su asíntota horizontal:

\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{3t-6}{t+2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{3t}{t}=\lim_{t\rightarrow+\infty}3=3

Es decir, que tiene asíntota horizontal de ecuación y=3.

Calculamos los puntos de corte con los ejes:

  • Punto de corte con el eje t: y=0
    0=\dfrac{3t-6}{t+2}~;\\\\3t-6=0~;\\t=2
  • Punto de corte con el eje y: t=0
    y=\dfrac{-6}{2}=-3

Es decir, la función f corta a los ejes en los puntos (2,0) y (0,-3).

Vemos que estos puntos de corte pertenecen al cuarto cuadrante definido por las asíntotas, luego, la hipérbola es estrictamente creciente en el intervalo t\in(0,+\infty).

p832


b) Al inicio de 2010 tenemos que t=0. El valor de f es:

f(0)=\dfrac{-6}{2}=-3

Lo que equivale a unas pérdidas de 300.000 euros.

La empresa dejó de tener pérdidas cuando f(t)=0:

0=\dfrac{3t-6}{t+2}~;\\\\3t-6=0~;\\\\t=2

es decir, a partir del segundo año. Desde entonces, la empresa entró en ganancias siempre crecientes.


c) Las ganancias superaron los cien mil euros a partir de que f(t)=1:

1=\dfrac{3t-6}{t+2}~;\\\\t+2=3t-6~;\\\\2t=8~;\\\\t=4

A partir del cuarto año la empresa comenzó a ganar por encima de 100.000 euros.

Por último, es imposible que la empresa llegue a ingresar por encima de los 300.000 euros puesto que 3 es la asíntota horizontal de la función f.

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