Problema 833

El precio en euros de una piedra preciosa es cinco veces el cuadrado de su peso en gramos. Si tenemos una piedra preciosa de 8 gramos y nos planteamos partirla en dos trozos:

a) ¿Qué peso tiene que tener cada uno de los trozos para que el conjunto valga lo menos posible?
b) ¿Cuál es el precio mínimo y el precio máximo que puede valer este conjunto?


Solución:

a) Si una piedra de 8 gramos la partimos en dos trozos, uno de los trozos pesará x y el otro trozo pesará 8-x.
El precio del primer trozo es 5x² y el del segundo trozo es 5(8-x)². El precio total p de los dos trozos es:

p(x)=5x^2+5(8-x)^2

Simplificamos la función precio:

p(x)=5x^2+5(64-16x+x^2)~;\\p(x)=10x^2-80x+320

Calculamos los puntos críticos de p para obtener el mínimo:

p'(x)=20x-80=0~;\\x=4

Utilizamos el test de la derivada segunda para comprobar que se trata de un mínimo:

p''(x)=20~;\\p''(4)=20>0

luego, si partimos la piedra preciosa de 8 gramos en dos piezas de 4 gramos cada una se tendrá el mínimo valor del conjunto.


b) El precio mínimo es:

p(4)=10\cdot4^2-80\cdot4+320=160

Dado que p tiene un único punto crítico que resulta ser un mínimo, y dado que p es una función polinómica que es continua y derivable en todo su dominio, el valor máximo estará en uno de los extremos del dominio, [0,8]:

p(0)=10\cdot0^2-80\cdot0+320=320\\p(8)=320

Luego, el valor máximo se obtiene si no se corta la piedra preciosa obteniéndose un valor de 320€.

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