Problema 834

Considere las matrices A=\begin{pmatrix}a&1\\0&2\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}2&-1\\0&1\end{pmatrix}.

a) Calcule el valor del parámetro a para el que se cumple que AB=BA.
b) Para el valor a = 2, encuentre una matriz X tal que AXA=B.


Solución:

a) Calculamos los dos productos:

AB=\begin{pmatrix}a&1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a&-a+1\\0&2\end{pmatrix}

BA=\begin{pmatrix}2&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a&0\\0&2\end{pmatrix}

Si ambas matrices son iguales, entonces:

\left\{\begin{array}{l}2a=2a\\-a+1=0\\0=0\\2=2\end{array}\right.

De la segunda ecuación obtenemos la solución a=1, solución que se verifica en el resto de ecuaciones del sistema.


b) Para a=2 tenemos la matriz A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}.
Sea la matriz X=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}, entonces:

AX=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2p+r&2q+s\\2r&2s\end{pmatrix}

AXA=(AX)A=\begin{pmatrix}2p+r&2q+s\\2r&2s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4p+2r&2p+r+4q+2s\\4r&2r+4s\end{pmatrix}

Igualamos AXA a B:

\begin{pmatrix}4p+2r&2p+r+4q+2s\\4r&2r+4s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\0&1\end{pmatrix}

De donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}4p+2r=2\\2p+r+4q+2s=-1\\4r=0\\2r+4s=1\end{array}\right.

De la tercera ecuación tenemos r=0.
De la cuarta ecuación nos queda s=\dfrac14.
De la primera ecuación tenemos p=\dfrac12.
Y de la segunda ecuación:

2\cdot\dfrac12+0+4q+2\cdot\dfrac14=-1~;\\\\1+4q+\dfrac12=-1~;\\\\4q=\dfrac{-5}2~;\\\\q=\dfrac{-5}8

Luego, la matriz X es:

X=\begin{pmatrix}\frac12&\frac{-5}8\\0&\frac14\end{pmatrix}

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