Problema 835

Una empresa fabrica dos tipos de helados, G1 y G2. En el proceso de elaboración utiliza dos tipos de ingredientes, A y B. Dispone de 90 kg del ingrediente A y de 150 kg del ingrediente B. Para fabricar una caja de helados del tipo G1, emplea 1 kg del ingrediente A y 2 kg del ingrediente B. Para fabricar una caja de helados del tipo G2, emplea 2 kg del ingrediente A y 1 kg del ingrediente B. Si la caja de helados del tipo G1 se vende a 10 euros y la del tipo G2 se vende a 15 euros, cuántas cajas de helados de cada tipo hay que fabricar para maximizar los ingresos?


Solución:

Sea x el número de cajas del tipo G1 e y el número de cajas del tipo G2.
En la siguiente tabla se recoge los kilos necesarios de ingredientes A y B por cada tipo de caja:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{A}&\text{B}\\\hline\text{G1}&1&2\\\hline\text{G2}&2&1\\\hline\end{array}

Se dispone de 90 kg de ingrediente A:

x+2y\leq90

Se dispone de 150 kg de ingrediente B:

2x+y\leq150

Junto con las restricciones de positividad, construimos el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+2y\leq90\\2x+y\leq150\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas a partir del sistema anterior y las representamos en la siguiente gráfica:

\left\{\begin{array}{l}x+2y=90\\2x+y=150\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p835

Calculamos los vértices de la región factible:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\x+2y=90\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,45)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+y=150\\x+2y=90\end{array}\right.&\rightarrow B=(70,10)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+y=150\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow C=(75,0)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow D=(0,0)\end{array}

Por cada caja de helado del tipo G1 se obtiene un ingreso de 10€ y por cada caja de helado del tipo G2 se obtienen 15€, luego, la función ingresos es:

f(x,y)=10x+15y

Evaluamos los ingresos en cada uno de los vértices:

A\rightarrow f(0,45)=10\cdot0+15\cdot45=675\\B\rightarrow f(70,10)=850\\C\rightarrow f(75,0)=750\\D\rightarrow f(0,0)=0

El máximo ingreso se obtiene en el vértice B, es decir, produciendo 70 cajas de helado tipo G1 y 10 cajas de helado tipo G2. En ese caso se obtendría un ingreso de 850€.

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