Problema 836

Un gimnasio cobra una cuota de 42 euros mensuales y tiene 2.000 usuarios. Un estudio de mercado afirma que por cada euro que sube (o se baja) la cuota se pierden (o se ganan) 20 usuarios.

a) Expresar el número de usuarios del gimnasio en función de la cuota, teniendo en cuenta que la relación entre las dos variables es lineal. Para qué valor de la cuota el gimnasio se quedaría sin usuarios?
b) Determinar en qué precio hay que fijar la cuota para obtener un beneficio mensual máximo. ¿Cuál sería ese beneficio y cuántos usuarios tendría el gimnasio en este caso?


Solución:

a) El número de usuarios, n, sin incrementos de cuota, es 2000. Por cada incremento aplicado x (1 incremento x=1, 2 incrementos x=2, …) en la cuota se pierden 20 usuarios:

n(x)=2000-20x\qquad(1)

La cuota mensual c depende de los incrementos aplicados x de 1€, siendo la cuota sin incrementos de 42€:

c(x)=42+1x\qquad(2)

Despejamos x en (2) y lo sustituimos en (1), así tendremos el número de usuarios n en función de la cuota c:

x=c-42\\\\n(c)=2000-20(c-42)~;\\n(c)=2000-20c+840~;\\\boxed{n(c)=2840-20c}\qquad(3)

Nos piden calcular la cuota para que el gimnasio se quede sin usuarios, n=0:

0=2840-20c~;\\\\20c=2840~;\\\\c=\dfrac{2840}{20}=142

Con una cuota de 142 euros el gimnasio se quedaría sin clientes.


b) Primero definimos la función beneficio o ingreso b que se obtiene multiplicando la cuota c por el número de usuarios n:

b(c,n)=c\cdot n

Escribimos el beneficio en función de la cuota:

b(c)=c(2840-20c)=2840c-20c^2\qquad(4)

Para obtener el máximo de la función beneficios, calculamos sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

b'(c)=2840-40c=0~;\\\\40c=2840~;\\\\c=\dfrac{2840}{40}=71

Utilizamos el test de la derivada segunda para comprobar que c=71, la función b tiene un máximo:

b''(c)=-40~;\\\\b''(71)=-40<0

Luego, según el test de la derivada segunda, con una cuota de 71€ mensuales el beneficio se haría máximo siendo este beneficio de (sustituyendo en (4)):

b(71)=2840\cdot71-20\cdot71^2=100.820

El número de usuarios que tendría el gimnasio en este caso es, según (3):

n(71)=2840-20\cdot71=1420 usuarios

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