Problema 837

Consideremos una función f tal que su primera derivada es $f'(x)=x^2+bx-3$ , donde b es un parámetro real.

a) Determinar el valor de b para f tenga un extremo relativo en x = -3 y razone si
se trata de un máximo o de un mínimo.
b) Para b = -8, encuentra la ecuación de la recta tangente a f en el punto (0, 2).

Solución:

a) Si en x=-3 hay un extremo relativo entonces, $f'(-3)=0$ :

$f'(-3)=(-3)^2+b\cdot(-3)-3=0~;\\\\9-3b-3=0~;\\\\6-3b=0~;\\\\b=2$

Para caracterizar este extremos utilizamos el test de la derivada segunda:

$f'(x)=x^2+2x-3~;\\\\f''(x)=2x+2~;\\f''(-3)=-6+2=-4<0$

Luego, según el test de la derivada segunda, en x=-3, f presenta un máximo.

b) Para b=-8 tenemos, $f'(x)=x^2-8x-3$ .
La ecuación de la recta tangente a f en el punto de tangencia $x=x_0$ es:

$\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}$

Nos dicen la recta es tangente a f en el punto (0,2), es decir, $f(0)=2$ y $x_0=0$ .
Además, $f'(0)=0^2-8\cdot0-3=-3$ . Luego, la ecuación de la recta buscada es: