Problema 837

Consideremos una función f tal que su primera derivada es f'(x)=x^2+bx-3, donde b es un parámetro real.

a) Determinar el valor de b para f tenga un extremo relativo en x = -3 y razone si
se trata de un máximo o de un mínimo.
b) Para b = -8, encuentra la ecuación de la recta tangente a f en el punto (0, 2).


Solución:

a) Si en x=-3 hay un extremo relativo entonces, f'(-3)=0:

f'(-3)=(-3)^2+b\cdot(-3)-3=0~;\\\\9-3b-3=0~;\\\\6-3b=0~;\\\\b=2

Para caracterizar este extremos utilizamos el test de la derivada segunda:

f'(x)=x^2+2x-3~;\\\\f''(x)=2x+2~;\\f''(-3)=-6+2=-4<0

Luego, según el test de la derivada segunda, en x=-3, f presenta un máximo.


b) Para b=-8 tenemos, f'(x)=x^2-8x-3.
La ecuación de la recta tangente a f en el punto de tangencia x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

Nos dicen la recta es tangente a f en el punto (0,2), es decir, f(0)=2 y x_0=0.
Además, f'(0)=0^2-8\cdot0-3=-3. Luego, la ecuación de la recta buscada es:

y=-3(x-0)+2~;\\\\\boxed{y=-3x+2}

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