Problema 838

Un grupo inversor quiere invertir 6.000 euros en letras, bonos y acciones que tienen una rentabilidad del 10%, del 8% y del 4%, respectivamente. Teniendo en cuenta que quiere obtener una rentabilidad global del 7%:

a) Encuentre la cantidad que debe invertir en letras y en bonos en función de la cantidad invertida en acciones. ¿Qué valores puede tomar la cantidad invertida en acciones sabiendo que las cantidades invertidas en cada uno de los productos deben ser siempre mayores o iguales que cero?
b) ¿Cuánto debe invertir en cada una de las tres opciones si quiere invertir en letras tanto como en los otros dos productos juntos?


Solución:

a) Sea x el dinero invertido en letras, y el dinero invertido en bonos y z el dinero invertido en acciones.
El dinero total invertido es 6000€:

x+y+z=6000

Las rentabilidades de cada producto financiero tienen que dar un total del 7%:

10\%x+8\%y+4\%z=7\%6000\\\\0.1x+0.08y+0.04z=420

Multiplicando la última ecuación por 10:

x+0.8y+0.4z=4200

Nos piden escribir lo invertido en letras y en bonos en función de lo invertido en acciones, es decir, x(z),~y(z).
Escribimos el sistema con las dos ecuaciones obtenidas:

\left\{\begin{array}{c}x+y+z=6000\\x+0.8y+0.4z=4200\end{array}\right.

Tomamos la variable z como parámetro:

\left\{\begin{array}{l}x+y=6000-z\qquad(1)\\x+0.8y=4200-0.4z\end{array}\right.

Si a la ecuación de arriba le restamos la de abajo obtenemos:

0.2y=1800-0.6z

de donde:

y=\dfrac{1800-0.6z}{0.2}\\\\\boxed{y=9000-3z}

Sustituyendo en (1):

x+9000-3z=6000-z\\\\\boxed{x=-3000+2z}

Sabemos que x, y y z han de ser mayores que 0. Igualamos a 0 todas las expresiones y resolvemos:

y=9000-3z\geq0\rightarrow z\leq3000\\\\x=-3000+2z\geq0\rightarrow z\geq1500

Según la primera ecuación, z ha de ser menor de 3000€ para que y sea positivo, y según la segunda ecuación, z ha de ser mayor de 1500€ para que x sea positivo, luego, la cantidad invertida en acciones ha de estar comprendida entre 1500 y 3000€.


b) Si se quiere invertir en letras x tanto como en los otros dos productos juntos, tenemos una nueva ecuación:

x=y+z

Que junto con las ecuaciones del apartado a) forman un sistema:

\left\{\begin{array}{c}x+y+z=6000\\x+0.8y+0.4z=4200\\x-y-z=0\end{array}\right.

Multiplicamos la segunda ecuación por 5 y resolvemos el sistema por el método de Gauss-Jordan:

\left\{\begin{array}{r}x+y+z=6000\\5x+4y+2z=21000\\x-y-z=0\end{array}\right.\rightarrow\left[\begin{array}{c}E_2-5E_1\rightarrow E_2\\E_3-E_1\rightarrow E_3\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\left\{\begin{array}{c}x+y+z=6000\\-y-3z=-9000\\-2y-2z=-6000\end{array}\right.\rightarrow\Big[E_3-2E_2\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\left\{\begin{array}{c}x+y+z=6000\\-y-3z=-9000\\4z=12000\end{array}\right.

De la ecuación 4z=12000 obtenemos:

z=30000

De la ecuación -y-3z=-9000 tenemos:

y=9000-3z\rightarrow y=0

Y de la ecuación x+y+z=6000 tenemos:

x=6000-y-z\rightarrow x=3000

Luego, hay que invertir 3000€ en letras, 0€ en bonos y 3000€ en acciones.

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