Problema 839

Considere la matriz A=\begin{pmatrix}2&-1\\7&-3\end{pmatrix}.

a) Compruebe que A^3-I=\mathbf0, en la que I es la matriz identidad de orden 2.
b) Calcular A^{11} utilizando la información del apartado a).


Solución:

a) Comprobar que A^3-I=\mathbf0:

A^2=\begin{pmatrix}2&-1\\7&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\7&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&1\\-7&2\end{pmatrix}

A^3=A^2A=\begin{pmatrix}-3&1\\-7&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\7&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

donde se comprueba que A^3=I y, por tanto, A^3-I=\mathbf0.


b) Dado que A^3=I, entonces, para calcular A^{11} es suficiente con calcular el resto r de la división de \frac{11}3. El valor de A^{11}=A^r.
En nuestro caso, al dividir \frac{11}3 tenemos cociente 3 y de resto 2, luego:

A^{11}=A^2=\begin{pmatrix}-3&1\\-7&2\end{pmatrix}

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