Problema 840

El vértice de una parábola es el punto (1, 2).

a) Si la parábola corta el eje de abscisas por el punto (\frac{-1}2,0), ¿cuál será el otro punto de corte de la parábola con el eje de abscisas?
b) Encuentre la ecuación de la parábola.


Solución:

a) La abscisa del vértice es el valor medio entre las abscisas de los puntos de corte de la parábola con el eje x.
Sea x_1=\frac{-1}2 y x_2 las dos abscisas de los puntos de corte con el eje x, y sea x_v=1 la abscisa del vértice, entonces:

x_v=\dfrac{x_1+x_2}2~;\\\\1=\dfrac{\frac{-1}2+x_2}2~;\\\\2=\frac{-1}2+x_2~;\\\\x_2=2+\frac12=\dfrac52

Luego, las coordenadas del otro punto de corte de la parábola con el eje de abscisas es (\frac52,0).


b) Sabemos que la abscisa del vértice es:

\boxed{x_v=\dfrac{-b}{2a}}

En nuestro caso:

1=\dfrac{-b}{2a}

de donde obtenemos la ecuación:

2a+b=0\qquad(1)

Por otro lado, la ecuación de la parábola es:

y=ax^2+bx+c

Sabiendo que la parábola pasa por el punto (1,2) obtenemos la ecuación:

2=a\cdot1^2+b\cdot1+c~;\\\\a+b+c=2\qquad(2)

y, sabiendo que pasa por el punto (\frac{-1}2,0), obtenemos:

0=a\cdot\dfrac14+b\cdot\dfrac{-1}2+c~;\\\\\dfrac14a-\dfrac12b+c=0~;\text{multiplicando por 4}\\\\a-2b+4c=0\qquad(3)

Agrupamos las ecuaciones (1), (2) y (3) en el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{ll}a+b+c&=2\\a-2b+4c&=0\\2a+b&=0\end{array}\right.

Resolvemos este sistema por el método de Gauss-Jordan:

\left\{\begin{array}{ll}a+b+c&=2\\a-2b+4c&=0\\2a+b&=0\end{array}\right.\rightarrow\Big[E_2-4E_1\rightarrow E_2\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\left\{\begin{array}{ll}a+b+c&=2\\-3a-6b&=-8\\2a+b&=0\end{array}\right.\rightarrow\Big[6E_3+E_2\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\left\{\begin{array}{ll}a+b+c&=2\\-3a-6b&=-8\\9a&=-8\end{array}\right.

De la última ecuación del último sistema obtenemos a=\frac{-8}9.
Sustituyendo en la ecuación (1):

2\cdot\dfrac{-8}+b=0~;\\\\b=\dfrac{16}9

Y sustituyendo en la ecuación (2):

\dfrac{-8}9+\dfrac{16}9+c=2~;\\\\c=2-\dfrac89=\dfrac{10}9

Luego, la ecuación de la parábola es:

y=\dfrac{-8}9x^2+\dfrac{16}9x+\dfrac{10}9

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