Problema 840

El vértice de una parábola es el punto (1, 2).

a) Si la parábola corta el eje de abscisas por el punto $(\frac{-1}2,0)$ , ¿cuál será el otro punto de corte de la parábola con el eje de abscisas?
b) Encuentre la ecuación de la parábola.

Solución:

a) La abscisa del vértice es el valor medio entre las abscisas de los puntos de corte de la parábola con el eje x.
Sea $x_1=\frac{-1}2$ y $x_2$ las dos abscisas de los puntos de corte con el eje x, y sea $x_v=1$ la abscisa del vértice, entonces:

$x_v=\dfrac{x_1+x_2}2~;\\\\1=\dfrac{\frac{-1}2+x_2}2~;\\\\2=\frac{-1}2+x_2~;\\\\x_2=2+\frac12=\dfrac52$

Luego, las coordenadas del otro punto de corte de la parábola con el eje de abscisas es $(\frac52,0)$ .

b) Sabemos que la abscisa del vértice es:

$\boxed{x_v=\dfrac{-b}{2a}}$

En nuestro caso:

$1=\dfrac{-b}{2a}$

de donde obtenemos la ecuación:

$2a+b=0\qquad(1)$

Por otro lado, la ecuación de la parábola es:

$y=ax^2+bx+c$

Sabiendo que la parábola pasa por el punto (1,2) obtenemos la ecuación:

$2=a\cdot1^2+b\cdot1+c~;\\\\a+b+c=2\qquad(2)$

y, sabiendo que pasa por el punto $(\frac{-1}2,0)$ , obtenemos:

$0=a\cdot\dfrac14+b\cdot\dfrac{-1}2+c~;\\\\\dfrac14a-\dfrac12b+c=0~;\text{multiplicando por 4}\\\\a-2b+4c=0\qquad(3)$

Agrupamos las ecuaciones (1), (2) y (3) en el siguiente sistema:

$\left\{\begin{array}{ll}a+b+c&=2\\a-2b+4c&=0\\2a+b&=0\end{array}\right.$

Resolvemos este sistema por el método de Gauss-Jordan:

$\left\{\begin{array}{ll}a+b+c&=2\\a-2b+4c&=0\\2a+b&=0\end{array}\right.\rightarrow\Big[E_2-4E_1\rightarrow E_2\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\left\{\begin{array}{ll}a+b+c&=2\\-3a-6b&=-8\\2a+b&=0\end{array}\right.\rightarrow\Big[6E_3+E_2\rightarrow E_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\left\{\begin{array}{ll}a+b+c&=2\\-3a-6b&=-8\\9a&=-8\end{array}\right.$